3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
?22r?(6t?1)i??(3t?3t?1)?j（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向
大小。
解：∵a?dr/dt质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为： ??arctgFy?2?2???12i??6?j, F?ma?24i??12?j 为一与时间无关的恒矢量，∴
/Fx?arctg0.5?26?34'
3.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：
???bsin?t?r?acos?tij，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵a?dr/dt?2?222????(acos?ti??bsin?t?j)???r
??2?F?ma??m?r, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
y N1 N2 f2 f1' a1 F a2
x f1 N1'
m2g m1g
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有
?1N1?m1a1F??1N1??N2?m2a22N1?m1g?0N2?N1?m2g?0 解方程组，得
a1??1ga2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2
要把木板从下面抽出来，必须满足a2?a1，即 F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g?F???1??2??m1?m2?g
3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
m1 m2 F 1
解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ
T (N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
T??m1g?m1a①N1
a
f1 m1g
T f2 f1 a
N2 N1 m2g
F
F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②
F?2?m1gm1?m2??g
①+②可求得：a?将a代入①中，可求得：T?m1(F?2?m1g)m1?m2
B A
3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个
C 物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩
擦，绳不可伸长。
T' N1
解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T， f1 T T
a3
m1g
m3g 由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以a1
（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
T??m1g?m1a1①T??m2g?m2a2③②N2
f2
m2g
a2
m3g?2T?m3(a1?a2)/2
①,②,③联立，可求得：
??2m2m3(1??)a1?????g?(m1?m2)m3?4m1m2???2m1m3(1??)a2?????g
?(m1?m2)m3?4m1m2??(m1?m2)m3(1??)?a3?????g?(m1?m2)m3?4m1m2?
3.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，
F(N) 火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大98 高度（注意，推力大于重力时才启动）。
t(s) 解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t≤20）,令F=mg，
即4.9t=2×9.8，t=4s。 20 因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，
2
v=0,y=0；t=4—20s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ； t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动， 设达最大高度时的坐标 y=y2.
第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt
Y dv?F/mdt?gdt?4.9/2tdt?9.8dtY2 vtt?0dv?4.9/2?4tdt?9.8?4dt?t?20? 2Y1 v?4.9/4t?9.8t?4?4.9?t?20? vmax?v(20)?314m/s
0 2?dy?vdt?(4.9/4t?9.8t?4?4.9)dt ??0dy?4.9/4?4tdt?9.8?4tdt?4?4.9?4dty1?1672my12022020第三阶段运动学方程
v?314?9.8(t?20)(1),y?y1?314(t?20)?4.9(t?20)(2)
2令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)
3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？
y 解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力
ω 及运动情况如图示：α为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线N 2
垂直，加速度大小a=ωx，方向垂直指向y轴。 a α x 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：
mg 2Ncos(90???)?Nsin??m?x①
Nsin(90???)?Ncos??mg②①/②得：tgα=ω2x/g ③；由数学知识：tgα=dy/dx=2ax； 所以，2ax??2x/g,?2?2ag,??2ag
若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即
(R?y)2?R2?x,R?y?(R1222?x)21/2,y?R?(RR222?x)21/2tg??dy/dx??(R2?x)22?1/2?(?2x)?x/2?x
代入③中，得：x/R?x2??x/g,??g/R?x22
θ
3.5.1 小车以匀加速度a沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。
α 解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,
T θ f*=ma
3
x α a W=mg y 应用牛顿第二定律：??Tsin??macos??mg?Tcos??masin?
解得 tg??acos?/(g?asin?)
（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作
用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：
?Tsin??macos??0acos? 解得tg?? ?g?asin??mg?Tcos??masin??0
3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？
T T
f1* f2* a
a1' a2' m1 m2 m1g m2g
解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.
以向下为正方向，由牛顿二定律，有：
(m1?m2)a?(m2?m1)g?a'??m1g?T?m1a??m1a'?m1?m2解得：? ?mg?T?ma?ma'22?2?T?2mm(g?a)/(m?m)1212?设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，
??????a1?a1'?aa2?a2'?a 写成标量式：a1??a'?a,a2?a'?a，将a’代入，求得：
2m2a?(m2?m1)g?a??1m1?m2? ??a?2m1a?(m2?m1)g2?m1?m2)?
3.5.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）
解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车本身为f=μ0N N f*=mω2r 参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。
mg 在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ①
4
在水平方向应用平衡条件，N = mω2 r ② ①/②得：?0?g,?r2??g?0r
最小线速度 v??r?
rg/?0?3.0?9.8/0.6?7m/s
3.6.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：
?r?acos?ti??bsin?t?j，求质点的动量。
??j 解：质点速度：v?dr/dt???asin?ti???bcos?t???j 质点动量：p?mv??m?asin?ti??m?bcos?t?大小：p?px?py22?m?asin?t?bcos?t
2222方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a
3.6.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来， 经棒击球后，球沿水平成30o飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间 为0.02s，求棒击球的平均力。 v
解：以地为参考系，把球视为质点， 30o v0 ???由动量定理，F?t?mv?mv0，画出矢
22221/2量图，由余弦定理，代入数据，可求得F=881N.F?t?(mv?mv0?2mv0vcos30?)，
2由正弦定理 mv FΔt mv/sin??F?t/sin30?，代入数据， 30o α 求得sin??0.3179,
3.6.6质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。
4i?14i?14i?14i?1??18?32' mv0
解：由质心定义式：?mixi??mixC,?miyi??miyC，有
m1x1?m2x2?m3x3?m4x4?(m1?m2?m3?m4)xC1?(?1)?2?(?2)?3x3?4?3?(1?2?3?4)?1,x3?1
5