m1y1?m2y2?m3y3?m4y4?(m1?m2?m3?m4)yC1?1?2?0?3y3?4?(?2)?(1?2?3?4)?(?1),y3??1
3.7.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）
x 解：（1）用质点系动量定理解：
m1 以岸为参考系，把车、船当作质点 F m2 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力F的作用， 应用质点系动量定
理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N
（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有： (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt， a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1， ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N
（3）用牛顿定律解： a2=0 a1
分别分析车、船两个质点的 F f f
m2 m1 受力与运动情况：其中f为
静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律： f?m1a1?m1v/?t?1500NF?f?0F?f?1500N
3.7.2汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？
x
解：⑴用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋a' a2 桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定
理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2
设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2, ①
由质心定义式可知：m1a1?m2a2?(m1?m2)aC将①代入②中，可得：a2?aC?a2?0.2?15001500?6000m1m1?m2②
a'，取船前进方向为正，代入数据：
(?0.5)?0.3m/s
2
⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：F?(m1?m2)a①
设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2,对车、船应用质点系动量定理的导数形式：
6
F?m1dv1dt?m2dv2dt?m1a1?m2a2?m1(a'?a2)?m2a2m1m1?m2②
a',取船前进方向为正，代
令①=②，(m1?m2)a?m1(a'?a2)?m2a2,a2?a?入数据：a2?0.2?
15001500?6000(?0.5)?0.3m/s
2
3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。
解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kg，人相
x m1 对地的速度为v1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x轴同向；
设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；
m2 据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2.
由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得 v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即
s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m
3.7.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为m，炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。
解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v’, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v’+V
x L 由于不计路轨对车的摩擦 阻力，所以，在水平方向，
弹、车组成的质点系动量守恒，有
M m V MV+m v=0，将v代入，
v' MV+m(v’+V)=0，V= - v’m/(m+M)
设弹发出到与车壁相碰所用时间为Δt，用Δt乘上式两边，得： VΔt= - v’Δt m/(m+M)，其中：v’Δt= -L，VΔt即为车在此过程中前进的距离S，
∴S=Lm/(m+M)
3.8.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成45o，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆
炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。
解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。
设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：
????????mv?mv1/3?mv2/3?mv3/3?3v?v1?v2?v3，投影方程：
7
?3vcos45??v1cos45??v2cos45? ，即 ???3vsin45??v1sin45??v2sin45??v33v?v1?v2?(1)?3v?v1?v2?v3/sin45??(2)
??v1?3v?v2?3?25?15?90m/s解得：?
??v3?(3v?v1?v2)sin45??902?127m/s
y v v2 v1 45o 45o 45o x v3 v
3.8.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？
解：以岸为参考系， M v M v M v 以船前进的方向为坐标
的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1
后，前边船、中间船、后边船的速度变为v1、v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：
前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即
(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。
同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。
中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即
(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。
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