分块矩阵的应用
刘飞玉 数学计算机科学学院
摘 要： 分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践运算方
面都有广泛的应用。利用分块矩阵可以使一些大阶矩阵的结构更清晰明朗,从而使与一些大阶矩阵相关问题的计算简单化.本文主要给出了分块矩阵在处理矩阵问题中的应用,包括用分块矩阵求矩阵的行列式,讨论分块矩阵与秩的不等式关系,用分块矩阵求逆矩阵,并对分块矩阵的若干定理和性质进行了总结和推广.
关键词：分块矩阵;行列式;逆矩阵;秩
The application of partitioned matrix
Liufeiyu College of computer science in mathematics
Abstract: block matrix is an important tool in linear algebra, is widely used in
theoretical research and practical operation. By using block matrix can make the structure of large order matrix is more clear, so as to make the computation simple problems associated with some high order matrix. This paper gives the application of block matrix in matrix problems, including the use of determinant of block matrix matrix, discuss the relationship between inequality and the rank of block matrix using block matrix, inverse matrix of block matrix, and several theorems and properties are summarized and generalized
Keywords: block matrix; determinant; matrix; rank
1 引 言
在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关连的数据，矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值。它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等.在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出
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来进行表述并加以解决的.比如VLSI芯片设计等电脑的应用上就有着分开矩阵的思想.矩阵的概念及性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程.因此我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，结合实际应用的总结，分块矩阵的思想就产生了.
基于矩阵理论如此广泛的应用，人们很早就开始研究总结矩阵理论的应用，后来人们发现有时候将矩阵适当分块，然后把分块后的小矩阵当作矩阵元素一样来处理会对解决问题带来很大帮助，人们称之为矩阵的分块。分块矩阵应用起来需要很大的技巧，人们便开始进一步探讨分块矩阵在研究哪些问题时能够得到更好的应用。到目前为止研究分块矩阵的应用的书籍及文献已不胜枚举。如《高等代数》中将矩阵的分块及应用作为专门的一节来讲，其中便涉及到了分块矩阵的应用及初等变换，使得我们可以将分块后的矩阵仍当作矩阵来应用。
在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中最重要的一部分。分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构。本文即时通过查阅相关文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在处理矩阵问题中的应用,包括用分块矩阵求矩阵的行列式,讨论分块矩阵与秩的不等式关系,用分块矩阵求逆矩阵,并对分块矩阵的若干定理和性质进行了总结和推广。通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性。
为方便计算,我们通常将矩阵进行以下几种分块：
（1）列（行）向量分法
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设A=（?1,?2,??1????（=?2?）,?i（i=1,2,,?n）
??????n?,n）为A的列（行）向量.
??1? （2）分成两块： 设A=(?1,?2),其中?1，?2分别为A的若干列,或A=??,
??2?其中 ?1，?2分别为A的若干行.
?CC2?（3）分成四块A=?1?，其中C1，C2,C3,C4均为矩阵. CC4??3对于分块矩阵类似可定义初等变换： （1）交换分块阵的两行(或列);
（2）用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）; （3）用某一矩阵乘某一行（或列）加到另一行（或列）. 从而,根据广义矩阵的类型对应三种广义初等阵：
(1) ??0?EnEm??D0??E0?; (2) ?0E?,?0G?,D,G均为可逆矩阵; 0??????0??EH?,??. E?0E????E (3) ??M2 利用分块矩阵的方法求逆矩阵
在线性代数中,求逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换等方法来解决,但对于技术较高的矩阵,运算量较大,此时,用适当分块的方法则可以起到事半功倍的效果,方便很多.
?A0?引理 2.1 设 T???,A,B分别为k级和r级方阵,若A,B可逆,则T可0B???A?1逆,且 T???0-10?. ?1?B?证明： 首先,因为 |T|=|A||B|（*）（留作下一部分证明）,所以当A,B
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?X可逆时,T也可逆.设 T?1??11?X21X12? ?X22??A0??X11于是 ???X0B???21X12??E??k?X2?2?00? ?Er?这里Ek,Er分别表示k级和r级单位矩阵,乘出并比较等式两边,得
?AX11?Ek?AX?0? ?12
BX?021???BX22?Er又A,B可逆,得 X11?A?1，X12?0，X21?0，X22?B?1.定理得证.
?A0?引理 2.2 设 T??, 其中A,D为可逆方阵,则T可逆,且 ??CD? T?1?A?1???1?1??DCA0? ?1?D??E证明： 由于 ?m?1??CA0??A0??A0? ??????En??CD??0D??1?A0??Em在上式两边同时求逆得 ????CA?1CD????A?1?A0? 又因为 ????0D???0?10??A0???0D? En?????1?10?? 易知 D?1? T?1?A?1???00??Em???1D?1???CA0??A?1???1?1En????DCA0? ?1?D??AB??1A?BDC?都可逆,则 定理 2.1 设 T??,其中A,D为方阵,若D与???CD???A?BD?1C??1T 可逆,且 T?1???1??1?1?DCA?BDC?????? .
?1?D?1C?A?BD?1C?BD?1?D?1???1??A?BDC?BD?1?1?E证明 作 ?m?0?BD?1??AB??A?BD?1C?????En??CD??C0?? D? 4
因为D和?A?BD?1C?的逆存在,则由引理可知右端可逆,从而T可逆.再由
引理可知
??A?BD?1C??1T?1???1??1?1?DCA?BDC??????A?BD?1C??1=??1??1?1?DCA?BDC????0??E?m??1??0D???BD?1?? En??1?? .
?1?D?1C?A?BD?1C?BD?1?D?1????A?BD?1C?BD?1仿照定理2.1及引理2.1、2.2,可得
?AB?定理 2.2 设T??, ??CD?可逆矩阵时,则T是可逆矩阵,并且
其中B,C 为方阵,当B与（C?DB?1A）都是
T?1??(C?DB?1A)?1(C?DB?1A)?1? ???1?1?1?1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?BA(C?DBA)??同时,我们可以清晰地看到,由以上定理得出的几条简单性质： (1) 当A?0,A?0,B与C都可逆时,有T?1?0C?1????1?.
0??B (2) 当A?0,D?0,B与C都可逆时,有T?1??C?1DB?1C?1????. ?10??B?0C?1?. ???1?1?1??BAC??B(3) 当A?0,D?0,B与C都可逆时,有T?1?21?11例1 求矩阵 T=???12??1?100?00??的逆矩阵. 25??13??21???12??25?解：设 A???, C??1?1?, D??13?, 经计算得： 11???????1?1??3?5??19?30??1?1?1,,. A?1??D??DCA????????12???12???711?
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