《高等代数与解析几何》第三章 专题练习----向量与线性方程组 gqz
第三章 专题练习—向量与线性方程组
向量相关练习
1．已知?1=(1，3，2),?2=(2，-1，1)，?3=(0，4，7)，则?1+3?2-2?3= . 2.设向量?1=(1,2,0),?2=(-1,0,3),?3=(2,3,4),且满足：2(?1-?)+(?+?2)=3(?3-?)，则?=_____.
3.设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则（α，β）=____________. 4.设?1=（1，2，4），?2=(-1,-2,y)且?1与?2线性相关，则y=___ __. 5.已知向量组α1=(1,3,1),α2=(0,1,1),α3=(1,4,k)线性相关,则k=___ _. 6．向量?=(-3,1,5,-1)的单位向量为（ ）
A．
12? B．
16? C．
110? D．
136?
7．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）
A．α1，α2，α1+α
2
B．α1，α2，α1-α2
1
C．α1-α2，α2-α3，α3-αD．α1+α2，α2+α3，α3+α1
8．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ）
A．（2，0，0） B．（-3，2，4） C．（1，1，0） D．（0，-1，0） 9.已知α1=(1,0,0)，α2=(-2,0,0)，α3=(0,0,3)，则下列向量中可以由α1，α2，α3线性表出的是（ ）
A.（1，2，3） B.（1，-2，0）C.（0，2，3） D.（3，0，5） 10．设向量组(I)：?1，?2，…?r，向量组(II)：?1，?2，…?r，?r?1，…，?s则必有（ ） A．若(I)线性无关，则(II)线性无关 B．若(II)线性无关，则(I)线性无关 C．若(I)线性无关，则(II)线性相关 D．若(II)线性相关，则(I)线性相关
11.若向量组?,?,?线性无关,?,?,?线性相关,则A.?必可由?,?,?线性表示C.?必可由?,?,?线性表示()
; B.?必不可由?,?,?线性表示 D.?必不可由?,?,?线性表示
()
12.设?1,?2,?,?s是一组n维向量,则下列正确的是A.若?1,?2,?,?s不线性相关,就一定线性无关；
B.若存在s个不全为0的数k1,k2,?,ks,使k1?1?k2?2???ks?s?0,则?1,?2,?,?s线性无关；C.若?1,?2,?,?s线性相关,则?1可由?2,?,?s线性表示
1
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D.?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是?1不能由其余s?1个向量线性表示
13.n维向量组?1,?2,?,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是()
A.若存在不全为0的数k1,k2,?,ks,使k1?1?k2?2???ks?s?0, B.?1,?2,?,?s中任意两个向量都线性无关；
C.?1,?2,?,?s中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示；
D.?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
14.n维向量组?1,?2,?,?s线性相关的充要条件是()
A.?1,?2,?,?s中有0向量； B.?1,?2,?,?s中任意两个向量的分量成比例； C.?1,?2,?,?s中有一个向量是其余向量的线性组合； D.?1,?2,?,?s中任意一个向量是其余向量的线性组合。
15.n维向量组?1,?2,?,?s线性无关的充分条件是()
A.?1,?2,?,?s都不是0向量； B.?1,?2,?,?s中任意两个向量的分量不成比例；
C.向量?1,?2,?,?s的个数s?n；
D.某向量?可由?1,?2,?,?s线性表示,且表示方式唯一.
16.向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组()
A.?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关
B.?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关; C.?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 D.?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关
17.设有任意两个n维向量组?1,?,?m和?1,?,?m，若存在两组不全为?1,?,?m和k1,?,km,使
2
0的数
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(?1?k1)?1???(?m?km)?m?(?1?k1)?1???(?m?km)?m?0,则(A.?1,?,?m和?1,?,?m都线性相关；B.?1,?,?m和?1,?,?m都线性无关；)
C.?1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m线性无关； D.?1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m线性相关；
18．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，
证明:向量组α1，α2，α3线性相关.
19．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.
20.设?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t),(1)t为何值时,?1,?2,?3线性相关；(2)t为何值时,?1,?2,?3线性无关；(3)当线性相关时,将?3表示为?1,?2的线性线性组合
21. 求下列向量组的秩及一个极大无关组
?1??1131?,?2???11?13?,?3??5?28?9?,?4???1317?.
22. 已知向量组?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14),TTT?4?(1,?1,2,0)
T 求向量空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数和一个基。
3
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线性方程组相关练习
一．选择题：
?3x?ky?z?0?4y?z?0 有非零解，则 k = （ ） 1．如果方程组 ??kx?5y?z?0?A. 0 B. 1 C. －1 D. 3 2．设A是m?n矩阵，Ax?b有解，则（ ）
A．当Ax?b有唯一解时，m?n B. 当Ax?b有无穷多解时，R(A)? m C. 当Ax?b有唯一解时，R(A)?n D. 当Ax?b有无穷多解时，Ax?0只有零解 3．设A是m?n矩阵，如果m?n，则 （ ）
A. Ax?b必有无穷多解 B. Ax?b必有唯一解
C. Ax?0必有非零解 D. Ax?0必有唯一解
4．设A是m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充要条件是R(A) （ ）
A. 小于m B. 小于n C. 等于m D. 等于n
5．设A是5?4矩阵，若Ax?b有解，?1,?2是其两个特解，导出组Ax?0的基础解系是?1,?2，
则不正确的结论是 （ ）
A.Ax?b的通解是k1?1?k2?2??1 B.Ax?b的通解是k1?1?k2?2?(?1??2) C.Ax?b的通解是k1(?1??2)?k2?2?(?1??2)/2 D.Ax?b的通解是k1(?1??2)?k2(?2??1)?2?1??2
6.设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,?1,?2是相应齐次方程组AX?0的基础解系,k1,k2是任意常数，则AX?b的通解为（）
A.k1?1?k2(?1??2)??1??22 B.k1?1?k2(?1??2)??1??22
C.k1?1?k2(?2??1)??1??22 D.k1?1?k2(?1??2)??1??22
T7．设?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的三个解向量，且R(A)?3，?1?(1,2,3,4)，
T?2??3?(0,1,2,3)，C表示任意常数，则线性方程组Ax?b的解是 （ ）
A. (1,2,3,4)?C(1,1,1,1) B. (1,2,3,4)?C(0,1,2,3)
4
TTTT《高等代数与解析几何》第三章 专题练习----向量与线性方程组 gqz C. (1,2,3,4)T?C(2,3,4,5)T D. (1,2,3,4)T?C(3,4,5,6)T
8．设矩阵Am?n的秩R(A)?m?n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是（ ）
A. A的任意m个列向量必线性无关 B. A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式 C. A的任意m阶子式不等于零 D. 非齐次线性方程组Ax?b一定有无穷多组解
9．设?1,?2为齐次线性方程组Ax?0的解，?1,?2为非齐次线性方程组Ax?b的解，则（ ）
A. 2?1??1为Ax?0的解 B. ?1??2为Ax?b的解 C. ?1??2为Ax?0的解 D. ?1??2为Ax?b的解
10.设A为n阶方阵,R(A)?n?3,且?1,?2,?3是AX?0的三个线性无关的解向则AX?0的基础解系为（）量，
A.?1??2,?2??3,?3??1 B.?2??1,?3??2,?1??3
C.2?2??1,12?3??2,?1??3 D.?1??2??3,?3??2,??1?2?3
,11.设A为n阶方阵,且R(A)?n?1,?1,?2是AX?0的两个不同解向量则AX?0的通解为（）
B.k?2； C.k(?1??2)； D.k(?1??2)； A.k?1；12.要使?1?(1,0,1),?2?(-2,0,1)是方程组AX?0的解,只要A为（TT ）?1?A.?3?2?2113??2? B.1????1???121?0?1??? C.?02??3?1220??0? D.1???0???0?120??? 0?二．填空题： ?1?1. 设A??2?1?23a??1??x1??????a?2?，b??3?，x??x2?
?0??x??2?????3?1（1）齐次线性方程组Ax?0只有零解，则a
（2）非齐次线性方程组Ax?b无解，则a = ?1?2．设A??2?3?210?2??2?，三维列向量??(a,1,1)T，已知A?与?线性相关，则a = 4???z?0?kx?3．若方程组?2x?ky?z?0 仅有零解，则k
?kx?2y?z?0?
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《高等代数与解析几何》第三章 专题练习----向量与线性方程组 gqz x1?2x2?x3?1??4.已知方程组?2x1?3x2?(a?2)x3?3无解,则a?
?x1?ax2?2x3?0??ax1?x2?x3?1?5.已知方程组?x1?ax2?x3?1有无穷多解,则a?
?x?x?ax??223?1三．计算题：
?2x?y?z?w?1?1． 求解非齐次线性方程组?4x?2y?z?w?2
?2x?y?z?w?1?
??x1?x2?x3?1?2．?取何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3?? ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
?x?x??x??223?1
?x1?5x2?2x3?3x4?11?3．求非齐次线性方程组?5x1?3x2?6x3?x4??1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
?2x?4x?2x?x??6234?1
4．计算A是秩为3的5×4矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax?b的三个不同的解，若
?1??2?2?3?(2,0,0,0)
TT，3?1??2?(2,4,6,8)，求方程组Ax?b的通解。
?x1?5x2?2x3?3x4?11?5.当?为何值时,??3x1?x2?4x3?2x4??5有解,并求其通解??x1?9x2?x4?17?
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