附录A 平面图形的几何性质
截面的几何性质主要包括：截面面积、静矩、形心、极惯性矩、惯性积、惯性矩等与截面形状及尺寸有关的几何量。它们直接影响杆件的应力和变形。本节将对截面的几何性质及计算方法进行研究。
§A-1 静矩和形心
一．截面的静矩
任意的截面图形如图A-1所示，其面积为A，Oyz为截面所在平面内的任意直角坐标系。在坐标（y,z）处取微面积dA，则如下所示的面积积分 Sy?zdA, Sz?A??AydA (A.1)
分别称为截面对y轴与z轴的静矩，又称一次矩。
由上述定义可知：平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴，其静矩也就不一样。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲为长度的三次方。
二．截面的形心
图形的几何形状中心称为形心。根据合力矩定理可知，均质等厚度薄板的中心在Oyz坐标系中的坐标为
?zdA?y???CA (A-2) ?ydA??A?zC?A?根据上式可以计算出截面形心的位置，将（A-1）代入（A-2）可得
?Sz?yC?A ? （A-3）
S?z?AC?y由此可见：当坐标yC或zC为零时，即坐标轴通过截面形心时，截面对该轴的静矩为零;反之，如果 对某个轴的静矩为零，那么该轴必定通过截面形心。
三．组合结构的静矩和形心坐标
当平面图形由简单的图形组合而来时，由静矩的定义可知:图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个组合图形对同一轴的静矩，即
Sz??Ay, Siii?1ny??Aizi, （A-4）
i?1n式中，Ai、yi和zi分别表示第i个简单图形的面积及形心坐标；n表示组成平面图形的简单图形的个数。
将（A-4）代入（A-3），便得到该组合图形形心坐标的计算公式
yc??Ayii?1nni?Ai?1 ， zc??Azii?1nni （A-5）
ii?Ai?1
§A-2 惯性矩 惯性积 惯性半径
一．惯性矩
任意平面图形如图A-2所示，其面积为A，Oyz为截面所示平面内的任意直角坐标系。在距原点矢径为?，坐标为（y,z）处取微面积dA,则下述面积积分
Ip??A?2dA (A-6)
称为截面对原点O的极惯性矩，它的值恒为正，其量纲为长度的四次方。同理
Iy??z2dA ，Iz??y2dA （A-7）
AA 称为截面对y轴和z轴的惯性矩。由图A-2可以看出 Ip?22222?dA(y?z)dAzdAy==+ ?A?A?A?AdA=Iy?Iz （A-8）
所以，截面对任意互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
二．惯性积
任意平面图形如A-3所示，其面积为A，Oyz为截面所示平面内的任意直角坐标系。在坐标为（x,y）的任一点，定义yzdA为微面积dA对y轴和z轴的惯性积。下述积分式
Iyz??AyzdA （A-9）
称为该截面对y、z轴的惯性矩。惯性矩Iyz可能为正，可能为负，也可能为零，其量纲为长度的四次方。
如果两坐标轴中有一个为对称轴，则该图形对y,z轴的惯性积为零。
图A-3
三．组合图形的惯性矩和惯性积
根据组合图形惯性矩的叠加性可知，由多个简单图形组合成的组合图形对某个坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一轴的惯性积之和。可以用以下公式表示：
n??Iy??(Iy)ii?1?n? ?Iz??(Iz)i
i?1?n??Ixy??(Iyz)ii?1?其中，(Iy)i、(Iz)i、(Iyz)i分别为第i个简单图形对y轴的惯性矩和惯性积。
§A-3
平行移轴公式
当同一平面图形对于两相互平行的不同坐标轴，其惯性矩和惯性积虽然不同，但是如果其中一对轴过平面图形的形心时，它们之间有着比较简单关系。
如图A-4为一面积为A的任意平面图形，其形心过Oy1z1坐标系原点。y1,z1 轴为该图形的形心轴，并分别与y,z轴平行。该图形形心在Oyz坐标系中的坐标为（a,b）,取微面积dA，它在两坐标系中的坐标分别为（y,z）、(y1,z1)。
y?a?y1， z?b?z1 （a）
将式（a）代入公式（A-7）
Iz??y2dA??(a?y1)2dA?Aa2?2a?y1dA??y12dA (b)
AAAAIy??z2dA??(b?z1)2dA?Ab2?2b?z1dA??z12dA (c)
AAAA即Iz?Iz1?2aSz?Aa，Iy?Iy1?2aSy?Ab （d）
22由于y1轴和z1轴是形心轴，所以Sz,SY都为零。则
Iz?Iz1?Aa2，Iy?Iy1?Ab2 (A-10)
上述所用到的定理即平行移轴定理，可以概括为：截面对于任一轴的惯性矩，等于平行于该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距的平方之积。
§A-4 转轴公式
转轴定理是研究坐标轴围绕原点发生旋转时，平面图形对于具有不同转角的坐标轴的惯性矩或惯性积之间某种关系的变化规律。
如图A-5所示，平面图形对于y,z轴的惯性矩和惯性积分别为Iy、Iz和Iyz。
将Oxy坐标系绕坐标原点O按逆时针方向旋转?角，得到一新坐标系，记为Oy1z1。在图中取微面积dA,可得到新旧坐标的关系为
?y1?zsin??ycos? ? （a）
z?zcos??ysin??1根据定义，平面图形对于y1轴的惯性矩为
Iy1??z12dA??(zcos??ysin?)2dA
AA ?cos?zdA?sin?A2?22?Ay2dA?2sin?cos??yzdA (b)
A上式等号右边三式积分分别为
22zdA?Iy，y??dA?Iz，?yzdA?Iyz AAA将上面三式代入式（b），再根据三角函数关系