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于是A-1=1998×
11?2?4，A不是整数，所以不满足．
于是A为445，B为667，C为889．
7．甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10点离开考场，同时午饭．但甲说：“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的．”乙说：“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”．求考试开始和午饭开始的时间．
【分析与解】 由题中条件知，午饭前2小时，考试开始后1.5小时，早者为10点；于是，有两种情况：
第一种情况：午饭开始前2小时较早，为10点，有午饭(10+2=)12点开始， 而考试开始后1.5小时应超过10时，即考试开始的时间在8点30分以后；
那么午饭前2.5小时为12-2.5为9点30分，而考试开始后1小时在9点30分后，所以，晚者为考试开始后1小时，为10点，所以10-1=9点开始考试的；
第二种情况：考试开始后1.5小时较早，为10点，有10-1.5为8点30分开始考试，午饭前2小时超过10点，则午饭应在12点以后；
那么午饭前2.5小时应在9点30分之后，而考试后1小时为9点30分，有午饭前2.5小时为晚者，为10点，所以午饭是在10+2.5即12点30分开始的． 综合这两种情况，有下表
第25讲 数论综合2
内容概述
进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．
典型问题
1．算式1534×25=43214是几进位制数的乘法?
【分析与解】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．
【分析与解】 有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于
9619，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．
9619 进一步计算有0，1
，21948，31932，41924，59596为原方程的解．
3．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．
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【分析与解】 设这个四位数为abcd?m2????????????? ① 每位数字均加3，并且没有进位，为
(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)?n2 ???????????????????② 有②－①得：3333=n2?m2=（n－m）(n+m) ????????????③
将3333分解质因数，有3333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m＞n－m，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：
如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．
4．将
16表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．
1a?1b?16【分析与解】 设有
，化简有(a－6)(b－6)=62=2×2×3×3，
评注：形如
1A?1B21A?1B?1t (t为己知常数)的解法及解的个数．
2?1t (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A－t)×(B－t)= t；
t2 我们t将分解质因数后，再令(A－t)其中一个为t的一个约数(A－t)=a，那么A=a+t，则B=(t为已知常数)，
?A?a?t?2 所以，一般公式为? (a为t的一个约数)； t?t?B?a?2a?t
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设t2的约数有x个，则A、B有
x+12组(调换顺序算一种)．
?A?2t 注意有一组解A、B相等，就是?.
B?2t? 5．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；??；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标
有数1993的那个点上标的最小数是多少?
【分析与解】 记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，??
则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，?，标有1993的是1+2+3+?+1993=1987021号．
1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993． 那么1021+2000n=1+2+3+?+k=
k(k?1)2，即2042+4000n=k(k+1).
当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解； 当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解； 当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；
当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118； 随着n的增大，k也增大．
所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118．
6.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的所有这样的三位数．
【分析与解】 设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc?3?ab(c?3)，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，
则abc+3=a(b?1)(c?3?10)，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)= 必须有进位，所以c只能为7，8，9． 一一验，如下表：
13(a?b?c)，则a+b+c=9，而c+3
13．求
验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足．
所以，原来的三位数为207，117或108．
7．将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．
【分析与解】 先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为ab?cd，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质．
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依次类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾.
即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数．
第26讲 进位制问题
内容概述
本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．
但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．
说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．
典型问题
1．在几进制中有4×13=100．
【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：
不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0． 也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2． 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．
我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52 < 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．
所以，n只能是6．
2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．
注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．
于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：
12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以，首位为5．
评注：若原为n进制的数，转化为nk进制，则从右往左数每k个数一组化为nk进制．
如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制． 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)2=(2415)8．
3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?
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【分析与解】 (abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c； (cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．
所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；
因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1． 所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0
所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2． 于是，35a=15+80×2；a=5．
于是(abc)6 =(552)6=5×6+5×6+2=212． 所以．这个三位数在十进制中为212．
4．设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且x?y?z=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及
b．
2
?(xyz)b?b2x?by?z?1987① 【分析与解】 我们注意?②?x?y?z?1?9?8?7
①-②得：(b2-1)x+(b-1)y=1987-25． 则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962， 即(b-1)[(b+1)x+y]=1962． 所以，1962是(b-1)的倍数．
1962=2×9×109：
当b-1=9时，b=10，显然不满足；
当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，
?b=19??x?5?x?4?x?5,?(不满足),......则?所以，??y?9?y?29?y?9??z?11
显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足． 于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．
5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?
【分析与解】
于是，我们知道n=4，所以为4进制，
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