2013-2015天津市实施义务教育 学校现代化建设课堂教学设计
数学学科 课题：一元二次方程的根与系数的关系 章节：21.2.4
教材出版社：人民教育出版社
授课教师：曹永敏
所在单位：蓟县下仓镇大仇中学 授课时间：2015.9
教学目标
1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。 教学重点和难点：
1．教学重点：根与系数的关系及其推导。 2．教学难点：正确理解根与系数的关系。
教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意
这个前提条件，而应用
，因此，
判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件教学过程
一、 复习知识，回顾方法
一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？ 二、 小组合作，类比探究
和
。
1.方程（x - x1）（x - x2） = 0 （x1、x2 为已知数）的两根是什么？将方程化为
的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
归纳：
2.一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 中，二次项系数 a 未必是 1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
设是方程的两个根。
∴ ∴
以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系） 结论：如果
的两个根是
，那么
。
如果把方程 我们就可把它写成
变形为。
。
的形式，其中。从而得出：
三、运用性质，巩固练习
例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 （3）5x - 1 = 4x 2 练习：1．已知关于x的方程
x2?(m?1)x?2m?1?0当m= 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 时,此方程的两根互为倒数. 2. 设x，x为方程x2?4x?1?0的两个根，12
x1?x2?2x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x21123.设 的两个实数根为 则: ?的值为( ) x1,x2x?x?1?0x1x255A. 1 B. －1 C. D. 5四、变式训练，熟练技能
求方程中的待定系数
1. 如果－1是方程的2 x2?x?m?0一个根，则另一个根是___ｍ=____。
2 的两个实数根是 且 22 2. 已知方程 x ? ，求kx1,x2?kx?k?2?0x1 ? x24的值。
五．小结知识，梳理方法
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 六．课后反思，布置作业
1.教科书习题 21.2 第 7 题． 2.选作作业：
mx2?2mx?m?1?0(m?0)有一个正根，方程 一个负根，求m的取值范围。
（二）总结、扩展
（1） 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。