[高考领航]2016届高考数学二轮复习 限时训练15 与数列交汇的综合

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练15 与数列交汇的

综合问题 文

(建议用时30分钟)

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4<0，a5>|a4|，则使Sn>0成立的最小正整数n为( ) A．6 C．8

解析：选C.∵a4<0，a5>|a4|， ∴a4＋a5>0，

8?a4＋a5?8?a1＋a8?∴S8＝＝>0. 22∴最小正整数为8.

2．(2015·高考北京卷)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0 B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0 C．若0a1a3 D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0

解析：选C.利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断．

设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，

22

d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a2a1a3，故选项C正2－a1a3＝(a1＋d)－a1(a1＋2d)＝d＞0，∴a2＞

B．7 D．9

确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d≤0，故选项D错． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝4，a2＋a4＝2，则log2?A．2 015 C．2

2 015

2

?S2 016＋1?＝( )

?

?a2 016?

B．2 016 D．2

2 016

a1?1－??2 016?2

1?1－?1?2 016?1－2??2??2a2＋a41S2 016????2 016

解析：选B.设公比为q，则q＝＝，所以＝＝＝2

a1＋a32a2 0161?2 0151?2 015??a1×???2??2???－1，所以log2?

??

?1???

??

?S2 016＋1?＝2 016.

?

?a2 016?

1

?9?n*

4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)??(n∈N)，则数列{an}的最大项是( )

?10?

A．第6项或第7项 C．第8项或第9项

B．第7项或第8项 D．第7项

?9?n＋1?9?n?9?n7－n，解析：选B.因为an＋1－an＝(n＋3)??－(n＋2)??＝??·当n<7时，an＋1－an>0，

10?10??10??10?

即an＋1>an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>7时，an＋1－an<0，即an＋1a9>a10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项．故选B.

5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 C．63

B．42 D．84

解析：选B.利用等比数列的通项公式求解． ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q＋3q＝21. ∴1＋q＋q＝7.解得q＝2或q＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.

?1?

6．记数列{2n}的前n项和为an，数列??的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，

?an?

2

2

4

2

2

2

4

则bnSn的最小值为( ) A．－3 C．3

?2＋2n?n解析：选B.an＝＝n(n＋1)

2

1?111?11??11?1n?1

∴Sn＝＋＋…＋＝?－?＋?－?＋…＋?－＝1－＝. ?a1a2an?12??23?n＋1n＋1?nn＋1??n－8?n9∴bnSn＝＝(n＋1)＋－10≥29－10＝－4

n＋1n＋1当且仅当n＋1＝

9

，∴n＝2. n＋1

B．－4 D．4

7．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f??，n∈N，Sn为数列{an}的前n项和，则S30＝( )

?3?A．155 C．145

B．150 D．30

?n?

*

解析：选C.当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2(k∈N)时，均有an＝f??＝??＝k，所以S3n＝0

?3??3?

?n??n? 2

个＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－13个＋n＝3×＋0＋1＋1＋3个1＋2＋2＋32?321312

＋n＝n－n.所以S30＝×10－×10＝145.

2222

1＋n－1

×(n－1)2

?n＋1?π

8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则

2

S2 015＝( )

A．1 006 C．1 008

B．1 007 D．1 009

?n＋1?π?n＋1?π

解析：选C.由an＋1－an＝sin?an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝

221＋0＝1，a3＝a2＋sin3π5π

＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝022

*

＋1＝1，∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2 015＝4×503＋3，因此S2 015＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＋a3＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＋0＝1 008.

?1?

9．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N＋，记数列??的前

?an?

n项和为Sn，则S120＝( )

A．0 C．11

B．10 D．12

11αα

解析：选B.设f(x)＝x，则2＝4，所以α＝.从而f(x)＝x，故an＝n＋1＋n，＝2an1

1

＝n＋1－n，所以Sn＝? ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n－n＋1)]

i＝1

nn＋1＋nai＝n＋1－1.故S120＝120＋1－1＝10.

10．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N)的个位数，则a2 014的值是( ) A．8 C．4

B．6 D．2

*

解析：选A.因为a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4， 因为a2a3＝4×7＝28，所以a4＝8， 因为a3a4＝4×8＝32，所以a5＝2， 因为a4a5＝2×8＝16，所以a6＝6，

依次计算，得a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2， 所以从第3项起，数列{an}成周期数列，周期为6，

3

2 014＝2＋335×6＋2， 所以a2 014＝8，故选A.

11．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 am·an＝4a1，14

则＋的最小值为( )

mn3A. 225C. 6

6

5

5B. 34D. 3

4

2

解析：选A.由a7＝a6＋2a5，得a1q＝a1q＋2a1q，整理有q－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由am·an＝4a1，得aman＝16a1，即a12

＋n－2

2

2m141?14?1?4mn?12

＝16a1，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)?＋?＝?＋＋5?≥

mn6?mn?6?nm?64mn4mn?3

·＋5?＝，当且仅当＝，m＋n＝6，

nmnm?2

?

?2?

3

即n＝2m＝4时取得最小值.

2

12．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2 016x，ai＝

(i＝1,2，…，2 016)，记Ik＝|fk(a2)－2 016

ifk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2 016)－fk(a2 015)|，k＝1,2，则( )

A．I1I2

D．I1与I2的大小关系无法确定

i＋1i1

解析：选A.依题意知，f1(ai＋1)－f1(ai)＝ai＋1－ai＝－＝，因此I1＝|f1(a2)

2 0162 0162 016

－f1(a1)|＋

|f1(a3)－f(a2)|＋…＋|f1(a2 016)－f1(a2 015)|＝

2 015

.因为f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2 016ai＋1－2 016

i＋1ilog2 016ai＝log2 016－log2 016>0，所以I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…

2 0162 016

21??－log2 016＋|f2(a2 016)－f2(a2 015)|＝?log2 016＋

2 0162 016???

?log2 0163－log2 0162?＋…＋

?2 0162 016????log2 0162 016－log2 0162 015? ?2 0162 016???

4

2 0161

＝log2 016－log2 016＝1，因此I1

2 0162 016

?1?

13．(2015·高考江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N )，则数列??的

?an?

*

前10项的和为________．

?1?

解析：先利用累加法求an，再利用裂项法求??的前10项和．

?an?

由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．

?n－1??2＋n?n＋n－2

以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 22又∵a1＝1，∴an＝

2

n2＋n2

(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，∴an＝1?12?1

∴＝2＝2?－?. ann＋n?nn＋1?

n2＋n2

(n∈N)．

*

??11??11??11??∴S10＝2×??－?＋?－?＋…＋?－?? ??12??23??1011??

1?20?＝2×?1－?＝. ?11?1120答案：

11

?ππ?且公差d≠0.

14．已知函数f(x)＝x＋sin x，项数为19的等差数列{an}满足an∈?－，?，

?22?

若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝__________时，f(ak)＝0.

解析：因为函数f(x)＝x＋sin x是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差

?ππ?数列{an}有19项，an∈?－，?，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)?22?

＝0，所以k＝10. 答案：10

15．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

解析：利用中位数、等差数列的性质列方程求解． 设数列首项为a1，则答案：5

16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．

a1＋2 015

2

＝1 010，故a1＝5.

5

??S解析：由已知?

??S10

10×9

＝10a1＋d＝0，

2

15×14

d＝25，15＝15a1＋2

2

2n?n－1?n10nx10x2

解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝na1＋d＝－，由于函数f(x)＝－(x>0)

32333320

在x＝处取得极小值也是最小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.

3232

3答案：－49

6