量子力学自测题(11)
一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？
?（2）波函数?(r,t)是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条
件？?(r,t)2的物理意义是什么？
（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？
?x是对易关系是什么？并写出（5）坐标x分量算符与动量x分量算符p?两者满足的不确定关系。
?的本值f与本征矢|n>分别具有什么性质？ （6）厄米算符Fn二（20分）设氢原子处于
?(r,?,?)?111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)的状态上，求
222能其量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。
?的本征矢为n,?n?构成正交归一完备函数三、（25分）设厄米算符H系，定义一个算符
?(m,n)?mn U???（1）计算对易??H,U(m,n)?
1
?(m,n)U??(p,q)??U?（2）证明Unq(m,p)
????kF?k? （3）计算阵迹TrFk?n?,证明 ?的矩阵元为A??mA（4）若算符Amn??AUA?mn?(m,n)
m,n?U??(p,q) Apq?TrA????四、（25分）自旋为，固有磁矩为u??s（其中?为实常数）的粒子，
???Bk处于均匀外磁场B的状态。 0中，设t=0时粒子处于sx????2?2（1）求出t>0时的波函数；
?x与s?z的可测值及相应的取值概率。 （2）求出t>0时s?21p??M?2(x2?y2)，五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为H0?2M2??H??W?基态能量至二级修正、????xy后，利用微扰论求H对其施加微扰W0第二激发态能量至一级修正。
六、（25分）设粒子处于Ylm(?,?)态,求该态中Lx, Ly, Lz的平均值.
量子力学自测题(11)答案
一、（30分）回答下列问题：
（1）何谓微观粒子的波粒两象性？
解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。
2
（2）波函数?(r,t)是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？?(r,t)??2的物理意义
是什么？
解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。?(r,t)?2表示在ｔ时刻r附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。
?（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒
若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？
解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。
?x是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。（5）坐标x分量算符与动量x分量算符p
?x?i??不确定关系为Δx·Δpx?解 对易关系为?x,p?。 2?的本值f与本征矢|n>分别具有什么性质？ （6）厄米算符Fn解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。
二（20分）设氢原子处于
?(r,?,?)?111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)的状态上，求能其
2222量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。
解 选H,L,LZ为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为
??2?n?nem(r,?,?)=Rnl(r)Ylm(?,?)
其中量子数的取值范围是
n=1,2,3,……； l=0,1,2,……，n-1；m=l,l-1, l-2,……，-l+1,- l 利用归一化条件求出归一化常数为
En???e4122
?111?c??????242?E3??12?4 5氢原子的能量只与主量子数n有关，依题题可知，n的可能取值有两个，即n=2,3,于是
?11?44??? 28??22?55?e4141E3?； W(E)?? 3245518??e44?e41?e4E?2???2
8?518?259?； W(E2)???e4角动量量子数l的可能取值只有一个，即 l=1,故有
L2?2?2;w(L2?2?2)?1
L2?2?2
角动量磁量子数m的可能取值有两个，即m=-1,0,于是
Lz??h； W?Lz?????142? 2553
?11?43Lz?0； W?Lz?0??????
?24?55
2L2???
5?的本征矢为n,?n?构成正交归一完备函数系，定义一个算符 三、（25分）设厄米算符HU?(m,n)?mn （1）计算对易??H?,U?(m,n)?? （2）证明U?(m,n)U??(p,q)??nqU?(m,p)
（3）计算阵迹TrF????kF?k?
k（4）若算符A?的矩阵元为Amn??mA?n?,证明 A???AmnU?(m,n)
m,nApq?Tr?A?U??(p,q)? 解 （1）对于任意一个态矢??，有
??H?,U?(m,n)?????HU??(m,n)???U?(m,n)H????
H?m??n???m??nH???
EmU?(m,n)???EnU?(m,n)???
(Em?En)U?(m,n)?? 故 ??H?,U?(m,n)???(Em?En)U?(m,n)
（2）U?(m,n)U??(p,q)?m??nq??p??nqU?(m,p)
（3）算符的阵迹为
Tr?U?(m,n)????kU?(m,n)k?? k ??km??nk??
k ??nk??km???nm???mn
k（4）算符
A???m??mA???m??mA?n??n? mm,n?AmnU?(m,n) m,n而
Apq??pA?q????pk??kA?q?
??kA?q??pk??k??kAU???(p,q)k??
k4
? Tr?A?U(?,p)q
??????四、（25分）自旋为，固有磁矩为u??s（其中?为实常数）的粒子，处于均匀外磁场B?B0k2?中，设t=0时粒子处于sx?的状态。
2（1）求出t>0时的波函数；
?x与s?z的可测值及相应的取值概率。 （2）求出t>0时s解 体系的哈密顿算符为
??B0??????Bs??－???B??z????z H???0E2在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为
E1??; ?1????E2???; ?2????
（1）在t=0时，粒子处于sx??的状态，即 2?(0)????x
?x相应于本征值为1的本征态。为了求出??x在泡利表象中的具体形式，需要求式中，??x是??x满足的本征方程 解??0??1解之得
1??a??a????????
0??b??b???x?1???????
?2?1??????? ??x??2?1?????1???? 2于是有
?(0)??1??x?1由于哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为
?(t)??1?i??i?exp??E1t????exp??E2t??? 22??????11?i??i?exp???t????exp??t??? 22???????,s?z]?0,所以sz是守恒量，它的取值概率与平均值不随时间改变。换句话说，只（2）因为[H要计算出t=0时，sz的取值概率，就知道了t>0时sz的取值概率。
由于
??1??1??W?sz?,0??; W?sz??,0??
2?22?2??
故有
sz?0
5