韶关市第一中学2011-2012学年度第一学期
高三级数学第四次测试题 （2011-12-20）
（考试时间120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷
一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，合计50分。) 1．函数y?2x?3x?2的定义域是
A．??3?2,????? B. ??3?2,2?????2,??? C.??3??2,2????2,??? D.(??,2)∪(2,??)
2．已知i为虚数单位,则复数(1?i)2(1?i)等于
A．?2?2i B．?2?2i C．2?2i D．2?2i 3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列,且a?3b?c?10, 则a
A．4 B.2 C.－2 D.－4 y
4．函数y =Asin(ωx+φ) ( A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图 所示，则该函数的表达式为
A．y?2sin(2x?5π6) B．y?2sin(2x?5πx 6) C．y?2sin(2x?π6) D．y?2sin(2x?π6)
5.函数f(x)?ax2?2(a?3)x?1在区间??2,???上单调递减，则实数a的取值范围是
A．??3,0? B.???,?3? C.??3,0? D.??2,0? 6．若|a|?1,|b|?2,c?a?b且c?a,则向量a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
7. 下列说法错误．．
的是 A. 命题“若x2?3x?2?0,则x?1”的逆否命题为:“若x?1,则x2?3x?2?0” B. “x?1”是“x?0”的充分不必要条件 C. 若p?q为真命题，则p、q均为真命题
D. 若命题p:“?x?R,使得x2?x?1?0”,则?p:“?x?R,均有x2?x?1?0”.
8．右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据, 2可得该几何体的表面积是 A. 32? B. 16? 44正（主）视图 侧（左）视图 C. 12? D. 8?
俯视图 9．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1， ∠ABD＝45°，则AD＝ A．2 B．5 C．4 D．1
10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数 2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、 12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下 去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数 列中，由1开始的第2009个数是 A．3948 B．3953 C．3955 D．3958
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题 (本大题共4小题，每题5分，合计20分。)
11．已知向量a= (4，3)，b = (x，-4)，且a⊥b，则与 b同方向的单位向量为 . 12．设曲线y?xn?1(n?N?)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,
令an?lgxn,则a1?a2???a99的值为____________． 13. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的
开始 结果为_________. 14.下列命题中：
i=1，m=0，s=0 ①若函数f(x)的定义域为R，则g(x)?f(x)?f(?x)一定是偶函数； i?5 否 ②直线x??2是函数y?sin(2x??2)图像的一条对称轴；
是 输出s ③若1，a,b,c,4这五个数组成一个等比数列，则b??2；
i=i+1 结束 ?x?y?0m=m+1 ④若实数x,y满足??x?2y?2?0，则x?y的最大值是6；
??x??2s=s+1/(m×i) 其中正确的命题序号是 .
第13题图
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…………高三级数学第四次测试题答题卷（2011-12-20） ……卷别 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 …题号 一（1－10） 二（11－14） 三（15） 三（16） 三（17） 三（1 8） 三（19） 三（20） … O得分 … …二、填空题 … … 11、 12、 … 绩…成…13、 14、 … 线 … 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． … ……15．（本小题满分12分） ……已知向量a?(2cosx,2sinx),b?(cosx,3cosx)，，函数f(x)?a?b． …O…（1）求函数f(x)的最小正周期和值域； …… 名…（2）在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且f(C)?3,c?1,ab?23, 姓… … …且a?b,求a,b的值。 封 … … …… … … … … 号O… 学… … … … … … 密 … … … … … … O级… 班… … … … …16．（文科做）（本题满分12分）
从某学校高三年级800名学生中 随机抽取50名测量身高，据测量被 抽取的学生的身高全部介于155cm和 195cm之间，将测量结果按如下方式 分成八组：第一组?155,160?；第二 组?160,165?；……第八组?190,195?，右图是按上述分组方法得到的条形图.
(Ⅰ) 根据已知条件填写下面表格： 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 (Ⅱ)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；
(Ⅲ) 在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？ 16．（理科做）（本题满分12分）
在一次语文测试中，有一道把我国近期新书:《声涯》、《关于上班这件事》、《长尾理论》、《游园惊梦:昆曲艺术审美之旅》与它们的作者连线题，已知连对一个得3分，连错一个不得分，一位同学该题得?分.
（1）求该同学得分不少于6分的概率； （2）求?的分布列及数学期望.
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17．（文科做）（本题满分14分）
D
在棱长为a的正方体ABCD?A1BC11D1中,
1E
C1E是线段AC11的中点,ACBD?F.
A
1B
1(Ⅰ) 求证:CE?BD；
(Ⅱ) 求证:CE∥平面A1BD； D C
(Ⅲ) 求三棱锥D?A1BC的体积. A F
B
第17题图
17．（理科做）（本题满分14分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1.
（1）试求ADDC的值；
1（2）求二面角F－AC1－C的大小； （3）求点C1到平面AFC的距离.
18.（本小题满分14分）
已知椭圆x2y23a2?b2?1（a＞b＞0）的离心率为3，以原点为圆心 、椭圆短半轴为半径的圆与直线
y?x?2相切，
（Ⅰ）求a与b；
（Ⅱ）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。
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…O…………………… 19. (本题满分14分)
若对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)?3，g(20)?5， 并且g(2m)?g(m)20．（本小题满分14分） 已知函数
f?x??ax2?4x?2满足对任意x1，x2?R且x1?x2，都有
(m?N?),设Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(2n)
（Ⅰ）求S1、S2、S3 ； （Ⅱ）求Sn； ?x?x?f?x1??f?x2?． f?12??2?2?（1）求实数a的取值范围；
… … … … 绩…成… … 线 … … …… …… …O… …… 名…姓… … … 封 … …… … … …… … 号O学…… … … … … … 密 … … … … … … O级…班………… …III）设b1n?S，求证数列{b的前n顶和T3n}n?n?12．
（2）试讨论函数y?f?x?在区间??1,1? 上的零点的个数；
（3）对于给定的实数a，有一个最小的负数M?a?，使得x???M?a?,0??时，?4?f?x??4都成立，则当a为何值时，M?a?最小，并求出M?a?的最小值．
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（
高三级数学第四次测试参考答案
一、B D D C A C C C B C 二、11、(3,?4) 12、－2 13、4555 14、①② 三、15．（本题满分12分） 解：（1）
………………3分 ∴函数
的最小周期
,值域为
………………5分
（2） ………………6分
C是三角形内角 ∴
， ∴
即：
………8分
∴ 即：
………………10分
将可得： 解之得：
∴
∴
，
………………12分
16．（本题满分12分）
解: （Ⅰ）由条形图得第七组频率为：
1?(0.04?2?0.08?2?0.2?2?0.3)?0.06,0.06?50?3
∴第七组的人数为3人
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 4分
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（Ⅱ）由条形图得前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82，
后三组频率为1－0.82=0.18 ……………………………………………………6分
估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800×0.18=144（人） …8分
(Ⅲ)第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3， 其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下： a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d 所以基本事件有12个 …………………………………………………………………………10分 恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a；共7个 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是
712. ……………………………………………12分 16．解：（1）?的可能取值为0，3，6，12 ……………2?
P(??12)?11C24A4? ，P(??6)?64? ……………6? 424A424该同学得分不少于6分的概率为P?P(??6)?P(??12)?724 （2）P(??3)?C14?28A4?，P(??0)?1?1?6?8?9 ……8? 42424242424? ?得分布列为
ξ 0 3 6 12 P 9…10′
24 824 624 124 E??0?924?3?824?6?6124?12?24?3………………12′
17．（本题满分14分）
解: (Ⅰ)证明：根据正方体的性质BD?AC，……………………………………………2分 因为AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD?AA1，又ACAA1?A
D1 C所以BD?平面ACC1A1，CE?平面ACCE
11A1， 所以CE?BD；…………………………………5分
A 1 B1
(Ⅱ)证明：连接A1F，因为AA1//BB1//CC1，AA1?BB1?CC1， D 所以ACC1A1为平行四边形，因此AC11//AC，AC11?AC
C
A
F由于E是线段AC11的中点,所以CE//FA1，…………………8分
B
………