初中数学竞赛专题讲义 第三讲 求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．
例1 求下列代数式的值：
分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．
=0-4a3b2-a2b-5
=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
=-16+2-5=-19．
2
2
2
2
2
(2)原式=3xy-xyz+(2xyz-xz)+4x?[3xy-(xyz-5xz)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
=2xyz-2x2z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
=12+6=18．
说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化． 例2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．
分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
=-1．
说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．
解法2 因为a-b=-1，所以
原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)=-1．
2
说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．
说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．
解法4 因为a-b=-1，所以
3
3
(a-b)=(-1)=1，
即 a+3ab-3ab-b=-1，
3
3
3
2
2
3
a-b-3ab(a-b)=-1，
3
3
所以 a-b-3ab(-1)=-1， 即 a3-b3+3ab=-1．
说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．
解法 5
a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
3
=(-1)+3ab(-1)+3ab
=-1．
3
说明 这种解法是添项，凑出(a-b)，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以
解 因为a=3b，所以
c=5a=5×(3b)=15b．
将a，c代入所求代数式，化简得
解 因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有
由(2)得y+1=3，所以y=2．
下面先化简所求代数式，然后再代入求值．
=x2y+5m2x+10xy2 =52×2+0+10×5×22=250
例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．