高二数学选修2-3数学教案07
组合（三）
一、知识回顾
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同。
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，
m叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．
Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)3．组合数公式：C?m?
Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n)。
m!(n?m)!mn?m04．组合数的性质1：Cn．规定：Cn?Cn?1； mmm?1 5．组合数的性质2：Cn。 ?1＝Cn+Cn二、知识运用
【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
222解：（1）根据分步计数原理得到：C6C4C2?90种；
222（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6C4C2种方法，这个过程可以分两步
完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A3种方法．根据分步计数原理可得：C6C4C2?xC3，所以
222C6C4C2x??15．因此，分为三份，每份两本一共有15种方法 3A332223
点评：本题是分组中的“均匀分组”问题． ．．．．
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素），共有
mmmCmn?Cmn?m???Cm种方法 nAn
123（3）这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C3?60种方法．
1233（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有C6C5C3A3?360种方法．
（5）可以分为三类情况：
222 ①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有C6C4C2?90种方法； 1233 ②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C6C5C3A3?360种方法； 43 ③“1、1、4型”，有C6A3?90种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法． 【例2】身高互不相同的7名运动员站成一排，
（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？
（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
4解：（1）（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有A7种排法；再将甲、乙、
丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，只有1种排法，根据分步计数原理，
4一共有A7?840种方法 （法二）：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置
34上，有C7 种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有A4种排法；根据分步计数原34理，一共有C7A4?840种方法．
（2）（插空法）先将其余4个同学进行全排列一共有A4种方法，再将甲、乙、丙三
3名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有C5种方法．根据分步计数原理，
4一共有A4C5?240种方法．
【例3】（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ （2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
43
解：（1）根据分步计数原理：一共有4?256种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有
23种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有A4种方法，所以，一共C423有C4＝144种方法． A44【例4】马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ 解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，
3故所求方法总数为C6?20种方法 【例5】九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
2111解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A8?C2C7C7)种方法； 12②若不取6，则有C7A7种方法，
211112根据分类计数原理，一共有2(A8?C2C7C7)+C7A7＝602种方法 三、学力发展 1．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 A．42 B．30 C．20 D．12 2．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）
5555555555B．A7 A．C7AC10A5 C．C10C7 D．C7A10 10A5
3．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，
且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）
444414444 A．C8A4 B．C8A4C5 C．54C8 A4 D．C40A4 4．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ． 5．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法 6．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个 7．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可
以构成 个平行四边形 8．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体
9．在某次数学考试中，学号为i(i?1,2,3,4)的同学的考试成绩
f(i)?{85,87,88,90,93}，且满足f(1)?f(2)?f(3)?f(4)，则这四位同学的考试
成绩的所有可能情况有 种 10．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A、B必选，并且在旅游过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种 11．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法 12．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有 种不同分法
64答案：1. A 2. D 3. C 4. C5?98 ?5 5. C84?C8
226. C?C?C?C?2?2?30 7. CmCn?152535455mn?m?1??n?1?
4
8. CmCnCt?222mnt?m?1??n?1??t?1?43 9. C5?C5?15
8
33310. C5A5?600 11. C12?2?440
333C9C6C3
12.⑴CC?36 ⑵CC?CC?45 ⑶
2424154425343A3?280
四、课堂小结 1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决； 4．需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：
111将3个人分成3 组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是C3?C2?C1?6种
mmCmnC(mn?1)m?Cm
一般地，将m?n个不同元素均匀分成n组，有
Amm种分法；
5．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题