2019届 北师大版数学精品资料
第一章 单元综合检测(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2012·课标全国卷]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 C．9种
B．10种 D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，
2
共有C12C4＝12种安排方案．
答案：A
2．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 C．480种
B．460种 D．496种
解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C.
答案：C
3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 C．49
B．56 D．28
112
解析：分两类计算，C22C7＋C2C7＝49，故选C.
答案：C
4．编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为( )
A．120
B．130
C．90
解析：问题的正面有3种情况：
D．109
有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这种3种情况都难以求解．
从反面入手，只有2种情况：
全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C35种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法．
因此，反面情况共有1＋C31＝11(种)不同坐法． 5·
5人无约束条件入座5个座位，有A55＝120(种)不同坐法． 所以满足要求的坐法种数为120－11＝109. 答案：D
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( ) A．－5 C．－10
B．5 D．10
3解析：(1－x)5中x3的系数为－C5＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C3(－1)3＝20，故6·
(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
答案：D
6．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( ) A．48个 C．24个
B．36个 D．18个
解析：个位数字是2的有3A3个位数字是4的有3A3所以共有36个． 3＝18个，3＝18个，答案：B
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
A．6A33 C．2A33
B．3A33
14
D．A22A4A4
解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A1这两名女歌手有A24种选法，2种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A44种排法，根据分步乘法计数原理，有
24A14A2A4种出场方案．
答案：D
8．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )
A．12 C．36
B．24 D．48
解析：第1步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第2步，将两个小孩视作一人与两位
3妈妈任意排在中间的三个位置上有2A33种排法，故总的排法种数有2×2×A3＝24.
答案：B
9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A．24种 C．60种
B．36种 D．66种
2
解析：先排甲、乙外的3人，有A33种排法，再插入甲、乙两人，有A4种方法，又甲排
112
在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有A33A4＝36(种)． 22
答案：B
10．若(2x＋3)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，则(a0＋a2)2－(a1＋a3)2的值为( ) A．－1 C．0
B．1 D．2
解析：在(2x＋3)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3中，分别令x＝1及x＝－1得a0＋a1＋a2＋a3
＝(2＋3)3，a0－a1＋a2－a3＝(－2＋3)3.所以(a0＋a2)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a1＋a3)(a0＋a2－a1－a3)＝(2＋3)3(－2＋3)3＝(3－4)3＝－1，故选A.
答案：A
111
11．若(2x－)n展开式中含2项的系数与含4项的系数之比为－5，则n等于( )
xxxA．4 C．8
B．6 D．10
1n－k
解析：展开式通项为Tk＋1＝Ck(－)k＝(－1)k2n－kCkxn－2k.选项A中若n＝4，则n(2x)n·x
4－2k
Tk＋1＝(－1)k·24－kCk， 4x
－2－2当4－2k＝－2时，k＝3，当4－2k＝－4时，k＝4，则T4＝(－1)3·24－3C34x＝－8x，－4－4，此时系数比不是－5. T5＝(－1)420C44x＝x
6－2k
选项B中若n＝6，则Tk＋1＝(－1)k26－kCk，当6－2k＝－2时，k＝4，当6－2k＝－6x－2－2T＝(－1)521C5x－4＝－12x－4，4时，k＝5，则T5＝(－1)4·22C4此时系数比为－5，6x＝60x，66
所以B正确，同理可以验证C、D选项不正确．故选B.
答案：B
12．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 C．108
B．96 D．144
1解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C3种方法，将其余两个偶数全排列，
有A2当1,3不相邻且不与5相邻时有A3当1,3相邻且不与5相邻时有A2A22种排法，3种方法，2·3
32
种方法，故满足题意的偶数个数有C1A2A23·2(A3＋A2·3)＝108个．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2013·天津高考](x－
16
)的二项展开式中的常数项为________． x
13r3
解析：通项Tr＋1＝Crx6－r·(－1)r·(x－)r＝(－1)r·Cr6·6x6－，令6－r＝0，得r＝4，所以222常数项为(－1)4·C46＝15.
答案：15
14．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有________种．
解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C23种选法，再将3人安排到三个
23
科目，有A33种不同排法，因此共有C3A3＝18种不同方案．
答案：18
15．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有__________种．
12123
解析：两老一新时，有C13×C2A2＝12种排法；两新一老时，有C2C3×A3＝36种排法，
即共有48种排法．
答案：48
16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________(用数字作答)．
解析：3个人各站一级台阶有A37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站
2
在另一级，有C23A7＝126种站法．共有210＋126＝336种站法．故填336.
答案：336
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．
解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况． 18．(12分)求证：4×6n＋5n1－9能被20整除(n∈N)．
＋
证明：4×6n＋5n1－9
＋
＝4×(5＋1)n＋5(4＋1)n－9
n1n11n0n1n1n10n
＝4(C0＋…＋Cn＋…＋Cn4＋Cnn5＋Cn5n5＋Cn)＋5(Cn4＋Cn4n)－9＝4×5(Cn5
－
－
－
－
－
1
n210n11n2n1＋C1＋…＋Cn＋Cn4＋…＋Cn)＋5－9 n5n)＋4＋5×4(Cn4
－
－
－
－
－
n11n2n1n11
＝20(C0＋Cn5＋…＋Cn)＋20(C0＋…＋Cnn5n4n)
－
－
－
－
－
故4×6n＋5n1－9能被20整除．
＋
19．(12分)4名男生与4名女生坐成一排照相． (1)女同学坐在一起； (2)女同学互不相邻； (3)男女生交叉坐．
问：各有多少种不同的排法？
5解：(1)(捆绑法)将4名女生看成一个整体，与4名男生进行排列，有A5种排法；女生
之间又可互换位置进行排列，有A44种排法．
4所以共有A55A4＝2880种不同的排法．
4(2)(插空法)4名男生先排，有A44种排法，4名女生插入5个空当中，有A5种排法． 4所以共有A44A5＝2880种不同的排法．
(3)先排男生后可有5个空当可供女生插空，即①男②男③男④男⑤.