2017年9月丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分
150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合P???1, 0, 1?，Q?x?1?x?1，则PA．?0?
B．??1, 0?
??Q?
D．[?1,1)
C．[?1,0]
2．若复数z满足 i?z??3?2i (i为虚数单位) ，则复数z的虚部是 A．?3 B．?3i C．3 3．已知角?为第三象限角，且tan??D．3i
3，则sin??cos?? 4711A．? B．? C．
555D．
7 54．若将正方体(如图4－1)截去两个三棱锥，得到如图4－2所示的几何体，则该几何体的侧视图是
图4-1
图4-2
A． B． C． D．
5．若a?R，则“a?2?1”是“a?0”的 A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
x2y2P为双曲线右支上一点，6．已知F1,F2分别为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点，
abπ满足?PF2F1?，连接PF1交y轴于点Q，若QF2?2c，则双曲线的离心率是
2A．2 B．3 C．1?2 D．1?3
27．若关于x的不等式3?x?a?x在(??,0)上有解，则实数a的取值范围是
1313) C．(??,?) D．(3,??) 44?x?y?1?0,?8．已知x,y?R满足条件?x?y?2?0,若目标函数z?ax?y仅在点(2, 3)处取到最大值，
?x?2.?A．(?B．(?3,则实数a的取值范围是
A．(??, 1) B．(??, 1]
C．[?1, +?)
D．(?1, +?)
13,3) 49．已知点O在二面角??AB??的棱上,点P在半平面?内,且?POB?45．若对于半平面?内异于O的任意一点Q,都有?POQ?45,则二面角??AB??的取值范围是 A．[0,]
π4
B．[,]
ππ42C．[,π]
π2D．[,π]
π4210．已知x?R且x?0，??R，则(1?x?sin?)?(1?x?A．22 B．8
2?cos?)2的最小值是 xC．1?22 D．9?42
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．已知数列?an?的通项公式为an?3n?1(n?N*)，则a5?a7? ▲ ；该数列前n 项
和Sn? ▲ . 12．已知随机变量?的分布列如右表， 则m? ▲ ；E(?)? ▲ . 13．若(x?? P 1 2 1 3m a63)x展开式中项的系数为?12，则a? ▲ ；常数项是 ▲ . 2xπ14．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知?A?，a?7,b?5，点D满
3足BD?2DC，则边c? ▲ ；AD? ▲ .
15．已知直线l1：2x?y?1?0，直线l2：4x?2y?a?0，圆C：x?y?2x?0.
22若C上任意一点P到两直线l1，l2的距离之和为定值25，则实数a? ▲ . 16．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人
担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 ▲ 种不同的选法. 17．已知向量a,b满足a?b?a?3b?2，则a的取值范围是 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．(本小题满分14分)
已知函数f(x)?sin3xcosx?cos3xsinx?cos2x． (Ⅰ) 求f()的值；
(Ⅱ) 求f(x)的单调递增区间．
19．(本小题满分15分)
如图，在几何体ABC?A1B1C1中，平面A1ACC1?底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，
π4B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC?BC?2B1C1，?ACB?(Ⅰ) 证明：B1Q∥平面A1ACC1；
(Ⅱ) 求直线AB与平面A1BB1所成角的正弦值．
20．(本小题满分15分) 已知函数f(x)?2π． 3 (第19题图) lnx,g(x)?kx (k?0)，函数F(x)?max?f(x),g(x)?,其中x?a,a?b, max?a,b???b,a?b.?（Ⅰ）求f(x)的极值；
（Ⅱ）求F(x)在1, e上的最大值(e为自然对数底数).
??
21．(本小题满分15分)
x22已知F1,F2是椭圆C：?y?1的左右焦点，A,B是椭圆C上的两点，且都在x轴上
2方，AF1∥BF2，设AF2,BF1 的交点为M． （Ⅰ）求证：
11? 为定值； AF1BF2（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．
22．(本小题满分15分) 已知数列?an?满足an?证明：
（Ⅰ）an?ean?1（e为自然对数底数）； （Ⅱ）
(第21题图) n(n,t?N?,t?3,n?t)． t?111??a1a2?1?(t?1)ln(n?1)； an（Ⅲ）(a1)t?(a2)t?(a3)t??(an)t?1．
2017年9月丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学参考答案
一、 选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A B B C A D C D 答案 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 3n2?n2511. 34，； 12. ， ；
33213. 2，60；
14. 8，
261； 315. ?18； 16. 60； 17.[1,2]．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. (本小题满分14分)
已知函数f(x)?sin3xcosx?cos3xsinx?cos2x． (Ⅰ) 求f()的值；
(Ⅱ) 求f(x)的单调递增区间．
π4π3ππ3πππ解 (Ⅰ) 因为 f()?sincos?cossin?cos
444442 ?2222????0 2222 ?1
π 所以 f()?1 …………………………………………………………5分
4 (Ⅱ) 因为 f(x)?sin(3x?x)?cos2x
?π2sin(2x?) …………………………………………………9分
4（化简出现在第（Ⅰ）小题中同样给4分） πππ?2kπ?2x+??2kπ，k?Z 242?3ππ?kπ?x??kπ，k?Z 883ππ?kπ, ?kπ]，k?Z………………………14分 88 由正弦函数的性质得 ? 解得
所以
f(x)的单调递增区间是[?19．(本小题满分15分)
如图，在几何体ABC?A1B1C1中，平面A1ACC1?底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC?BC?2B1C1，?ACB?(Ⅰ) 证明：B1Q∥平面A1ACC1；
(Ⅱ) 求直线AB与平面A1BB1所成角的正弦值．
2π． 3(第19题图) M点，连接MQ. (Ⅰ) 证明：如图1所示，连接AC1,AC1交于
M 因为 四边形A1ACC1是正方形， 所以 M是AC1的中点 又已知Q是A1B的中点 所以 MQ ∥1BC 2
又因为 B1C1∥BC且BC=2B1C1
所以 MQ ∥B1C1，
即四边形B1C1MQ是平行四边形
所以 BQ1∥C1M，
因此 B1Q∥平面A1ACC1.…………………………………………………7分 (Ⅱ) 如图2所示，过点B作面A1B1B与 面ABC的交线BD，交直线CA于D.
过A作线BD的垂线AH，垂足为H.
再过A作线A1H的垂线AG，垂足为G. 因为AH?BD,AA1?BD, 所以BD?面A1AH,
所以BD?AG,又因为A1H?AG,
(第19题图2) ?ABG即AB与面A1B1B所成的角．………………10分 所以AG?面A1B1B，所以
因为A1B1∥面ABC，所以A1B1∥BD， 且A为CD的中点，
如图2所示，CP为BD边上的高，
CBAB=22+22+2?2=23, BD=2+4+2?4=27， 因为
22PAH11CB?CDsin1200?BD?CP 22D(第19题图3)