。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sin x，
y＝cos x，y＝tan x的图像.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了
解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换．
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫作α的________，记作________，即________； (2)x叫作α的________，记作________，即________；
(3)叫作α的________，记作________，即____________________． 2．诱导公式
π
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不
2改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数 yxy＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 {x|x∈R且x≠kπ＋ 定义域 R R π，k∈Z} 2 值域 1
π对称轴：x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 奇偶性 周期性 最小正周期：________ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心： 对称中心： ?kπ＋π，0? ??2??(k∈Z) 最小正周期：________ ?kπ，0?(k∈Z)， ?2???无对称轴 最小正周期：____ ?π在?－＋?2 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，π＋π在开区间(kπ－，kπ2＋π) 2 π2kπ，＋2kπ??2?单调性 (k∈Z)上是增加的；3π?π在?＋2kπ，2?2 2kπ](k∈Z)上是减少的 (k∈Z)上是增加的 ＋2kπ](k∈Z)上是减少的 在x＝________(k∈Z)时，最值 π2在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax无最值 ymax＝1；在x＝－＋＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，25
且sin θ＝－，则y＝________.
5
反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.yrxr 2
已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
类型二 三角函数的图像与性质
π例2 将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，3然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝3sin x的图像． (1)求f(x)的最小正周期和递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决． π??跟踪训练2 函数f(x)＝3sin?2x＋?的部分图像如图所示．
6??
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； π??π
(2)求f(x)在区间?－，－?上的最大值和最小值．
12??2
类型三 三角函数的最值和值域 命题角度1 可化为y＝Aωx＋φ
＋k型
3
例3 求函数y＝－2sin(x＋
π
)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值． 6
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
ππ
跟踪训练3 已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
62
命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型
π2
例4 已知|x|≤，求函数f(x)＝cosx＋sin x的最小值．
4
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝－sinx－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数
2
a>0，求a，b的值．
命题角度3 分式型函数利用有界性求值域 2cos x＋1
例5 求函数y＝的值域．
2cos x－1
反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题． 3sin x＋1
跟踪训练5 求函数y＝的最大值和最小值．
sin x＋2
4
类型四 数形结合思想在三角函数中的应用
πm例6 已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围．
32
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想． 跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区πππ2ππ
间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________．
62236
1．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝A．43
43C．－43或－
32．已知f(α)＝
π－α
－π－α
B．±43
D.3 π－αα
31π
，则f(－)的值为( )
3
3
，则a的值为( ) 4
1111A. B．－ C．－ D. 2323
3．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为( ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,2] D．[0,1]
ππ??4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜?的部分图像如图所示，则ω，φ的值
22??分别是( )
ππππ
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
36635．已知函数f(x)＝－sinx＋sin x＋a，若1≤f(x)≤
2
17
对一切x∈R恒成立，求实数a的取4
5