2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案
（经济管理类）
一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）
?e2x?1?，x?0； 1. 函数f(x)??在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 x2??acosx?x，x?0，2. 设函数y = y(x) 由方程ex?y?cos(xy)?0所确定，则dyx?0? ?dx 。 3. 由曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A =
37 。 124. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则
?E8cosxsinxdx? 。
3
5．已知z??1?xy?，则
y?zxy?y?? ?1?xy??ln?1?xy??? 。 ?y1?xy??二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确
选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1. 若lim?(x)?u0且limf(u)?A，则（ D ）
x?x0u?u0
（A） limf[?(x)]存在； （B） limf[?(x)]?A
x?x0x?x0（C） limf[?(x)]不存在； （D） A、B、C均不正确。
x?x02. 设f(x)??sinx0（ A ） sin(x2)dx，g(x)?x3?x4，则当x?0时，
（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小； （B）f(x)与g(x)为等价无穷小； （C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小； （D）f(x)是比g(x)更低阶的无穷小。
3. 设函数f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x)，且f'(0)?b，其中a、b均为非零常数，则f(x)在x = 1处（ D ）
（A）不可导； （B）可导，且f'(1)?a； （C）可导，且f'(1)?b； （D）可导，且f'(1)?ab。 4. 设f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t?st0f(tx)dx，其中s > 0，t > 0，则I的值（ C ）
壹
（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。
?2u?2u?2u5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足?0及??0，则
?x?y?x2?y2（ B ）。
（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。
以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。 2
三、求极限limcosx?e?x2x?0x2[2x?ln(1?2x)] 。（本题6分） 解：cosx?1?x22!?x44!?o(x4)； x222
e?2?1?x1?x2?2?2!????2???o(x)?1?x22?x4?48?o(x4)；
ln(1?2x)??2x?1(?2x)2?o(x2)??2x?2x2?o(x22)；
由此得到：
x2cos?1?x2x4?x24x4limx?e22!?4!?o(x)???1?2?4?8?o(x)??x?0x2[2x?ln(1?2x)]?limx?0x2?2x?2x?2x2?o(x2)?
?1x4?o(x4)
?lim12x?0?2x4?o(x4)?124 。
四、求星形线??x?acos3t，在?y?asin3tt?3?4处的切线与Ox轴的夹角。（本题6分）
解：
dxdt??3acos2tsin3a32t?3?tt?3?????4a，
4422
dydt?3asin2tcotst?3??32t?3??44a， 4 贰
dy故
dydx?dt，
t?3?dx?1，即倾角α的正切tgα=14dtt?3?4于是得到切线与Ox轴的夹角???4。
五、已知方程xz?lnzy定义了函数z?z(x,y)，求?2z?x2。（本题7分）
1
解：?z?x??z?z ?x1x?zz2?z?2z??x2????x??z???x???1(z?x)2??(z?x)?z?x?z???z????x?1????
?1?(z?x)2??(z?x)z?z??z?x?z??z?x?1????
?z2?(z?x)3
六、计算
???xe?x0?1?e?x?2dx。（本题6分）
解：
???xe?x???xex0?1?e?x?2dx?dx????0?1?ex?20xd???1?x????1?1?ex????1?ex0??01?exdx 命：ex?t，则dx?1tdt，于是
???xe?x?10?1?e?x?2dx???t(1?t)dt?????11?t??11??t?t?1??dt?ln1?t1?ln2。 1y 七、计算I??y12dy?1exdx??1yy1dy?xyedx。
（本题7分） 422
解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到
1yI??dy?y1yy1xy311exdx??1dy?exdx??1dx?x1122edy?422y?1x(e?ex)dx?e?e。2x282
叁
八、某工厂计划投资144（百万元）用于购进A、B两种生产线，A生产线每套售价4（百万元），B生产线每套售价3（百万元）。若购进x套A生产线和y套B生产线，可使该厂新增年产值
2644L(x,y)?xy（百万元）
3问该厂应当分别购进A、B两种生产线个多少套，能使该厂新增年产值最大，并求此最大值。（本题8分）
解：构造F?L???，??4x?3y?144，则
11??34x4?4??0?Fx?cy4?331?4?4y?3??0?Fy?cx4??F?4x?3y?144?0???31(1)(2) 其中c?(3)26 333?3c??y?43?????????4????4??x?由(1)、(2)得 ?3?c?x?4???3??????4?y?(4)
(5)(4)与(5)相乘，得到
?????c?3?? （因λ< 0 ） (6) 3?4?4?(7)
214(6)代入(5)，得到
x99?即x?yy44(7)代入(3)，得到 y = 12 (8)
(8)代入(7)，得到 x = 27 注意到，函数F仅有唯一的驻点( 27，12 )，且根据问题的实际意义可知一定存在最大值，故最大值必在驻点处取得，即分别购进A型生产线27套和B型生产线12套可使新增年产值最大，且新增年产值的最大值为
maxL = 36（百万元）。
九、已知a>0，x1>0，定义
xn?1??1??3xn?a?34?xn????n?1,2,3,??
求证：limxn存在，并求其值。（本题8分）
n???解：第一步：证明数列?xn?的极限存在：
肆
注意到：当n ≥ 2时，xn?1??1??xn?xn?xn?a?≥4xnxnxna3?4a，因此数列?xn?有下界。3??4?xnxn?xn?11?a?1?a????3?4?又≤?3???1，即xn+1≤xn ，所以?xn?单调递减，由极限存在准则知，数列?xn?xn4?a?xn??4?有极限。
第二步：求数列?xn?的极限
设：limxn?A，则有A≥4a?0。
n???由limxn?1n????1a???lim?3xn?3?，
?4n????xn?有A?
1?a?，解得A?4a（舍掉负根），即limxn?4a。 3A??3?n???4?A?1??。（本题7分） x2十、证明：当x > 0时，arctanx?证明：设y?arctanx?1??（x > 0），则 x2y'?111????0
1?x2x2x2(1?x2)即在区间（0，+∞）上函数y单调递减，又
1???limy?lim?arctanx????0， x???x???x2??所以y?arctanx?1???0（x > 0），即 x2arctanx?1??。 x2
十一、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且4?134f(x)dx?f(0)，求证：
在开区间（0，1）内至少存在一点?，使得f'(?)?0。（本题7分）
证明：由积分中值定理知，存在???,1?，使得
4?3???1f(?)?1?34
?134f(x)dx?4?3f(x)dx?f(0)
41伍
又函数f(x)在区间?0,????0,1?上连续，?0,??内可导，由罗尔定理知，至少存在一点
???0,????0,1?，使得f'(?)?0。
十二、设f(x)在区间[a,??)上具有二阶导数，且f(x)?M0，0?f??(x)?M2，(a?x???)。证明f'(x)?2M0M2。（本题8分）
证明：对任意的x?[a,??)，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有
f(x?h)?f(x)?f'(x)h?12!f''(?)h2，其中??[h,x?h]。 即
f'(x)?1h?f(x?h)?f(x)??h2f''(?)
故
f'(x)?2M0h?h2M2，（x?[a,??)，h > 0） 命g(h)?2M0h?h2M2，试求其最小值。 命g'(h)??2M0Mh2?12M2?0，得到h0?20M， 2g''(h)?4M0h3?0， 所以，g(h)在hM00?2M处得极小值，亦即最小值， 2g(h0)?2M0M2。
故
f'(x)?2M0M2，
（x?[a,??)）。 陆