南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）
Ⅰ必做题部分
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚． 4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 参考公式 棱锥的体积公式V棱锥
1?Sh，其中为S棱锥的底面积，h为棱锥的高. 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．1.已知集合A?{1,a}，B?{2,3}，且A?B?{3}，则实数a的值是 ▲ ． 答案：3
解析：A?B?{3}?A?{1,3}?a?3 点评：考查集合的运算，属于容易题. 2.已知复数z?答案：?1?2i，其中i是虚数单位，则z的实部是 ▲ ． 1?i1 213?i 22解析： z??点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.
3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ． 答案：42
解析： 先判断，后执行，易得S=42 点评：考查算法、伪代码，属于容易题.
（第3题图）
（第4题图）
1
4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为 ▲ ． 答案：15
解析：频率之和为0.5，则天数为30?0.5?15 点评：考查频率分布直方图，属于容易题.
5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ ． 答案：
1 441? 164解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为
点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题. 6.已知tan?答案：-2
???????3，则sin?cos??3cos??的值为 ▲ ． ?4?1sin?cos??3cos2?tan??32解析：tan??,sin?cos??3cos?????2
2sin2??cos2?tan2??1点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan?的齐次式，属于容易题. 7.设数列?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S3?9，S15?225，Bn为数列?Sn???的前n项和，则Bn= ▲ ． ?n?n2?n答案：
2Snn2?n解析： 代入基本量运算，可得a1?1,d?2,Sn?n,? ?n,?Bn?n22点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.
22xy8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:??1?m?0?的一条渐近线与直线x?2y?1?04m垂直，则实数m的值为 ▲ ．
答案：16
解析： 渐近线方程为：y??mm1x，由垂直得?(?)??1?m?16 222点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题. 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 ▲ ． 答案：43 3
2
?1'ah?2?143?2?a?h'?2,V?sh?解析：设四棱锥斜高为h',底面边长为a,?2 33a??3?h'2??4点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题. 10.设f?x?是定义在R上且周期为4的函数，在区间(?2,2]上，其函数解析式是
??x?a,f?x?????1?x,?2?x?00?x?2，其中a?R．若f??5??f?5?，则f?2a?的值
是 ▲ ．
答案：1
解析：f(?5)?f(5)?f(?1)?f(1)?a?1?f(2)?1 点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.
11.已知函数f?x??x?ax?ax?1在[?1,1]上单调递减，则a的取值范围是 ▲ ．
322答案：a??3或a?3
解析： 易得f'(x)?3x2?2ax?a2?0在[-1，1]上恒成立，所以
f'(?1)?0且f'(1)?0?a??3或a?3
点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题. 12.如图，在四边形ABCD中，AB?CD?1，点M,N分别是边AD,BC的
????????????P,Q中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点，则PQ?(AB?DC)．．的值为 ▲ ．
答案：0
BPQAMDNC?????1????????????????????????????????1??），PQ??MN?PQ?MN??（AB+DC）（?AB?DC）=0 解析：MN?（AB+DC22点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.
2213.已知圆O：x?y?5，A,B为圆O上的两个动点，且AB?2，M为弦AB的中点，
C(22,a),D(22,a?2)．当A,B在圆O上运动时，始终有?CMD为锐角，则实数a的取值
范围为 ▲ ． 答案：a?0或a??2
22解析： 由OM?2,M点的轨迹方程为圆C1:x?y?4，要使得始终有?CMD为锐角，则以
CD为直径的圆C2与圆C1:x?y?4外离，所以8?(a?1)2?3
点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.
(a?b)214.已知a?1,b?2，则的最小值为 ▲ ．
a2?1?b2?4答案：6
解析：令a2?1?x2，b2?4?y2，有a?x2?1，b?y2?4
22
3
(x2?1?y2?4)2x2?y2?5?2(x2?1)(y2?4) ??22x?yx?ya?1?b?4(a?b)2x2?y2?5?2(xy?2)(x?y)2?96(x?y)????6
x?yx?yx?y点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 ．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知acosB?bcosA?2ccosC． （1）求角C的大小；
（2）若c?2,?ABC的面积为3，求?ABC的周长．
解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及acosB?bcosA?2ccosC， 得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即sin C＝2sin Ccos C， ………2分 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， ………4分
π1
所以cos C＝，所以C＝. ………7分
23
π1（2）absinC?3 又C＝，所以ab?4 ， ………9分
32由已知及余弦定理得a2?b2?2abcosC?4 故a2?b2?8 ，
从而(a?b)2?16 ………12分 所以?ABC的周长为6. ………14分
点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题． 16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P?ABC中，?ABC?90，PA?PC,平面PAC⊥平面ABC，D,E分别为AC,BC中点．
P（1） 求证：DE∥平面PAB；
（2） 求证：平面PBC⊥平面PDE． 解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．
所以DE∥AB， ………2分 又DE?平面PAB，
DCAB?平面PAB，
所以DE∥平面PAB. ………E5分 （2）因为PA＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC， ………6分 B又平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC， PD?平面PAC，
故PD⊥平面ABC， 因为BC?平面ABC，
所以PD⊥BC． ………9分 因为∠ABC＝90°，DE∥AB，
?A
4
因此DE⊥BC． ………11分 因为PD⊥BC，DE⊥BC，PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE， 所以BC⊥平面PDE， 又BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PDE． ………14分
点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题． 17.（本小题满分14分）
如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB?120米 ，AD?80米，以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，
BC,CD,DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效
?修建不锈钢护栏，沿益，水上乐园管理部门决定沿着?AE、FB着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E,F分别
?上的动点，EF//AB，且线段EF与线段AB在圆为?AD,BC心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．
（1）若EF?80米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为 多少平方米？
（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低． 解析：（1）如图，ME?20米，O1M?203米，梯形O1O2FE的面积为
1(12?08?0)2?03平方米．2000 32矩形AO1O2B的面积为4800平方米．
?AO1E??6，扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为
MN1?400???1600?平方米， 263800?平方米． ………5分 3800?答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为4800?20003?平方米．………6分
3???40?， （2）设?AO1E??,??(0,)，则?AE?BF2EF?120?2?40sin??120?80sin?，
修建费用f(?)?200?80??400?(120?80sin?)?16000(??3?2sin?)………9分
所以阴影部分面积为4800?20003?f'(?)?16000(1?2cos?)，令f'(?)?0，则???3，
? f'(?) (0,) 3?? 3 (,) 32??? ? 5