万有引力定律及其应用
【教学目标】
1．理解掌握万有引力定律的内容.
2. 掌握应用万有引力定律和牛顿运动定律解决天体的基本方法.
【教学重点】 万有引力定律的应用.
【教学难点】 物理模型的建立，各个字母代表的物理涵义. 【教学方法】 讲练结合，计算机辅助教学. 【教学过程】 一、万有引力定律
1．内容：自然界中任何物体都相互吸引的，引力的方向在它们的连线上，大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比． 2．公式： F?Gm1m2,其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，（G称为万有引力恒量，由 2r卡文迪许扭秤实验测出）.
3．适用条件：只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用， 4．特殊情况：
（1）当两物体为质量分布均匀的球体时，也可用该表达式进行计算， 此时r是两球的球心间的距离．
（2）一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力也适用，r 为球心到质点的距离.
二、万有引力定律在天体运动中的应用
解题思路1 . 一般将行星或卫星的运动看做绕中心天体的匀速圆周运动，其向心力由中心天体对绕行天体的万有引力来提供.
Mmv22?G2?man?m?mr?2?m()2r
rrT依据是牛顿第二定律和万有引力定律.
解题思路2. 地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，随着纬度的增加，物体的重力逐渐增大；地球表面的重力加速度也逐渐增大.在赤道上重力加速度最小；两极的重力加速度
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最大.在粗略计算时一般认为重力与万有引力是相等的，设地球表面的重力加速度g.
GGMMm?mgg?，所以 R2R2距离地球高度为h处的重力加速度gh：
GMmGM?mg，所以 g?hh(R?h)2(R?h)2应用一、求重力加速度
【例题1】设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心60R（R是地球半径）处，由于地
球的引力作用而产生的重力加速度g’，则g’与g比值为 解：在地球表面 GMm?mg 2R在距地心60R处
GMm?mg' 2(60R)g?1??g3600
【例题2】月球的质量和半径分别约为地球的球表面的重力加速度约为 .
解：在地球表面 G11和，地球表面的重力加速度为g，则月804Mm?mg 2RG在月球表面
1M?m80?mg月 12(R)41g月1??80=g（1）524三个重力加速度的比较:g g’ g月
问题：月球环绕地球做匀速圆周运动的向心加速度an是？ g’就是月球环绕地球做匀速圆周运动的向心加速度an.
应用二、中心天体质量M和密度ρ的计算
Mm4?2测出环绕天体围绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由G2?m2r
rT4?2r3可得中心天体的质量M?； 2GT如果已知该中心天体自身半径
R， 设天体密度为ρ ，
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MM3?r3 ； ????234V?R3GTR3如果环绕天体在中心天体表面附近运转，即r=R则有??3? 2GT【例题3】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测出的物理量是（ D ）
A．行星的半径 B. 卫星的半径 C. 卫星运行的线速度 D. 卫星运行的周期
【例题4】已知地球半径为R，地表附近一物体从高度h1下落至地面所用时间为t，若一卫
星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h2，求卫星的运行周期T的表达式．（不考虑地球自转的影响） 解：对做自由落体运动的物体h1?在地球表面 G12gt 2Mm?mg R2GMm4?2对卫星 ?m2(R?h)
(R?h)2T?T?
最后提一个问题：如何根据熟知的物理量求出地球的质量？ 最后做小结。
【板书设计】 万有引力定律
4?2(R?h2)3?gR24?2t2(R?h2)3 R2h1Mmv22?G2?man?m?mr?2?m()2r
rrT
G
Mm?mg 2R - 3 -
四、课后训练题
1.天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出 （ C ）
A．行星的质量 C．恒星的质量
B．行星的半径 D．恒星的半径
【解析】设测出的行星轨道半径为R，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由
GMm4?24?2R3?m2R得，M?，故C正确。 22RTGT2.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km，运行周期127分钟。
若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不．能．求出是 （ B ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
?2??【解析】设月球半径为R，则：G?m??(R?h) 2(R?h)?T?G?M月mR2?m?g月
②
M月m2①
G?M月m(R?h)2?ma卫
③
GM月m(R?h)2?m?2(R?h) ④
由①②③④可知，A、C、D均可求出，因不知卫星质量，不能求出月球对卫星的吸引力，B正确。
3.探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定 （ AD ）
A．若v∝R，则该环是土星的一部分 B．若v∝R，则该环是土星的卫星群 C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分 D．若v∝1/R，则该环是土星的卫星群
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4.卡文迪许比较准确地测出了引力常量，其实验装置是下图中的哪一个 ( B )
5．宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
【解析】设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
x2+y2=L2 （1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得 (2x)+h=(3L) （2）
222由以上两式解得h=L3 （3）
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=12gt （4） 2由万有引力定律与牛顿第二定律得
GMm?mg（式中m为小球的质量） （5） R223LR2联立以上各式得：M?。 23Gt6．月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球的质量M与月球的质量m之比M/m=81，地球的半径R0与月亮的半径R之比R0/R＝3.6，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比r/R0＝60。设月球表面的重力加速度为g，则在月球表面有
GMmr2?mg ……
经过计算得出：月球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度的1/3600。
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上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。
7．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
1s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦30?11解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67?10
m3/kg.s2)
【解析】设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为?，质量为M ，半径为R，自转角速度为?，位于赤道处的小物块质量为m， 则有
GMm2?432?m?R?? M??R? 2TR3由以上各式得??
3?GT2，代入数据解得：??1.27?1014kg/m3
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