研究生高等代数复习题
1.设?是数域P上线性空间V的线性变换且A2?A,证明
（1）?的特征值为1或0； （2）A?1(0)????A(?)??V?;
?1 （3） V?A(0)?A(V).
证明：2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，?的不变子空间W的正交补W?也是?的不变子空间．
?1?03.已知复系数矩阵A??0?0?210032104?3? 2?，1??（1） 求矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子；
（2） 求矩阵A的若当标准形.（15分） 4.已知二次型
f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x32?2ax2x3，(a?0)
f?y12?2y22?5y32，
通过某个正交变换可化为标准形
（1）写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定a的值； （2）求出作用的正交变换.
?11??11??11??10?2?25.P为数域，?1???，?3???，?4???为向量空间V?P的?，?2???00??10??11??00?一组基，求????12??在这组基下的坐标（写成列向量的形式）. 34??W1??x?Rn|Ax?0?，W2??x?Rn|(A?E)x?0?
6.设A为n阶方阵，
n证明A为幂等矩阵，则R?W1?W2.
7.若设W=f(x)f(1)?0,f(x)?R[x]n,
试证：W是R[x]n的子空间，并求出W的一组基及维数. 8.设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,?,?m为V中的正交向量组，令
??W???(?,?i)?0,??V,i?1,2,?,m?
（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：W??L??1,?2,?,?m?.
?3?1?11?9.试求矩阵A??30??4?10??00?的特征多项式、最小多项式.
5?3??3?1?0
10.在线性空间Pn中定义变换?：
?(x1,x2,?,xn)?(0,x2,?,xn)
（1）证明：?是Pn的线性变换.
（2）求值域?(Pn)及核??1(0)的基和维数.
211.证明二次型f(x1,?,xn)?n?xi?(?xi) (n?2)是半正定的.
i?1i?1n2n12.求?的值，使
f(x1,x2,x3,x4)??(x12?x22?x32)?2x1x2?2x2x3?2x1x3?x42是正定二次型. （12分）
1?1??1??13.设 A???3?33?（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形.
??2?22????2?1?11????121?1?， 14.设R4的线性变换?在标准基下的矩阵为A????112?1???1?1?12??（1）求?的特征值和特征向量，
（2）求R4的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
15.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换?在这组基下的矩阵为
?10??12A???12??2?21?13?? 55??1?2?2（1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域.
2216.求正交变换使二次型2x1?4x1x2?x2?4x2x3化为标准形，并判定该二次型是否正定.
17.设e1,e2,?,e5是5维的欧几里得空间R5的一组标准正交基，V1?L(?1,?2,?3)，其中
?1?e2?e3,?2??e1?e2?e4,?3?4e1?5e2?e5，求V1的一组标准正交基.
18. 设A?(aij)是n?n矩阵，其中aij?1,i?j
?a,i?j
（1）求detA的值；（2）设W?XAX?0，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间R3上的线性变换，满足???(x,y,z)?R3,T(?)?(x?y,y?z,z?x)?， 求?在基?(0,1,1)?,(1,0,1)?,(1,1,0)??下的矩阵.
20.设?是n维线性空间V上的线性变换，?1,?2,?,?n是V的一组基. 如果?是单射，则A?1,A?2,?,A?n也是一组基.
21.已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，1）写出二次型f的矩阵A； 2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.
???31?1???22.求方阵A???131?的不变因子、初等因子和若当标准形.
?022???23.设V是n维欧氏空间，n?3, 给定非零向量??V，令??:V?V:????2(?,?)? (?,?)证明：（1）??是正交变换； （2）如果?1,?2,?3,?,?n是正交基，则存在不全为零实数
k1,k2,?kn使得k1??1?k2??2???kn??n是V上的恒等变换.
24.V1,V2是x1?x2???xn?0和xi?xi?1?0,i?1,2,?,n?1的解空间,
n则P?V1?V2.
25.设?和?是线性空间P[x]中依据如下方式定义的两个线性变换：
?(f(x))?f?(x)，?(f(x))?xf(x)，求?????.
26.设欧氏空间中有?,?1,?2,?,?n，??0．W1?L(?1,?2,?,?n)，
W2?L(?,?1,?2,?,?n)，证明：如果(?,?i)?0，那么dimW1?dimW2．
27.求实二次型 f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?4x1x4?2x2x3的规范形及符号差.（15分） 28.设A是一个8阶方阵，1，1，1，1，它的8个不变因子为1，(??1)2(??2)(??3)3，??1，??1，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形. （15分） 29.设V为数域P上的n维线性空间，且V?L(?1,?2,?,?n) （１）证明：{?1,?1??2,?,?1??2????n}是V的一组基； （２）若??V在基{?1,?2,?,?n}下的坐标为(n,n?1,?,21)，
求?在基{?1,?1??2,?,?1??2????n}下的坐标. （14分） 30.在三维空间P3中，已知线性变换T在基?1?(?1,1,1),?2?(1,0,?1),?3?(0,1,1)?101???下的矩阵是?110?，求T在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵.
???121???2?3??x?(x1,x2),y?(y1,y2)?R，31.在线性空间R中，定义(x,y)?xAy?，其中A???。
?36??n2（１）证明：(x,y)是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间， （２）求R2的一组标准正交基，（３）求矩阵P，使得A?P?P. 32.设R4的两个子空间为：V1??x1,x2,x3,x4?x1?x2?x3?x4?0,
??V2??(x1,x2,x3,x4)x1?x2?x3?x4?0?.求V1?V2与V1?V2的基与维数.
33.设V是3维线性空间，?1,?2,?3为它的一个基.线性变换?:V?V， x1?1?x2?2?x3?3?2x1?1?3x2?2?4x3?3
求（１）?在基?1,?2,?3下的矩阵； （２）求核ker?和值域Im?.
34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意A,B?V，定义(A,B)?trAB，
其中trAB表示AB的迹.（１）证明：V构成一欧氏空间；（２）求使trA?0的子空间S的维数；（３）求S的正交补S?的维数.
35.试找出全体实2级矩阵M2(R)所构成的线性空间到R4的一个线性同构. 36.求由向量
?1?(1,2,1,0),?2?(?1,1,1,1)生成的子空间
V1与由向量
?1?(2,?1,0,1),?2?(1,?1,3,7)生成的子空间V2的交的基和维数.
?1?22???37.设A??3?36?，求(1)A的不变因子、行列式因子、初等因子.(2)A的Jordan标准形.
??2?24??38.设Pn?n是数域P上n?n矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换?(A)?A?，?A?V. （1）证明：?是Pn?n上的对合线性变换，即?是满足
?2?I（恒等变换）的线性变换； （2）求?的特征值和特征向量.
22239.已知实二次型f(x1,x2,x3)??4x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?4tx2x3
（1）假设f(x1,x2,x3)是负定二次型，求t的值；
（2）当t??1时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.
?1?12???40.设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为??12?1?
?2?16???（1）令???1??2，证明?是一个单位向量；（2）若???1??2?k?3与?正交，求k.
??a1??ab??41.已知W1????00??|a,b?R?,W2????c?1?????求W1?W2,W1?W2的一个基和维数.
?0??|a1,c1?R?是R2?2的两个子空间， ?0??42. V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
W1?{f(x)f(x)?V,f(x)?f(?x)},W2?{f(x)f(x)?V,f(x)??f(?x)}
证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2.
43.由三个函数1,cost,sint生成的实线性空间记为V, 求线性变换T:V?V,f(t)?f(t??3)的迹，行列式和特征多项式.
?1???44.求?-矩阵???1??2??2??2??????的初等因子和不变因子. ??2??45.设?为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换?如下： A????2(?,?)?,???V. 证明：??为第二类的正交变换（称为镜面反射）.
46.已知?关于基{?1,?2,?3}的坐标为（1，0，2），由基{?1,?2,?3}到基{?1,?2,?3}的过渡矩
?324???100阵为??，求?关于基{?1,?2,?3}的坐标. ?210???47.在线性空间P2×2中， A1???12???11??2?1??1?1?,A?,B?,B??2??1??2??
?10??11??01??37? (1)求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基； (2)求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基. 47’.设A为n维线性空间V的一个线性变换，且A2? (恒等变换)， 证明:(1) A的特征值只能是1或 -1；(2)V?V1?V?1.