全国高中数学联赛模拟卷（5）第一试
（考试时间：80分钟
满分：120分）
学校 ．姓名 ．得分 ．
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
（1）已知f1?f(x)?1?|x|，fn(x)?1?|fn?1(x)|，n?N且n?2，则f2009(2010)? ．
（2）已知F1,F2是双曲线x2?y2?1的两个焦点，M是该双曲线右支上的点，O为坐标原点．若
*|MF1|?|MF2|?6，则点M的坐标为 ．
|MO|
（3）已知关于x的复系数方程(4?3i)x?mx?4?3i?0有实根，则复数m的模的最小值为 ．
2?12?4x?x2?2?（4）函数y?arccos? ?的定义域是 ，值域是 ．
??4??
????????????????P（5）是△ABC所在平面上一点，满足PA?PB?PC?2AB，若S△ABC?6，则△PAB的面积
等于 ．
（6）已知一圆锥及其内切球的表面积之比为?，则?的取值范围为 ．
（7）已知由1,2,?,1000这1000个正整数构成的集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把
a1a放回集合A；然后再从集合A中随机取出一个数b，求?的概率为 ．
b3
（8）将编号为1到2010的2010个小球按照编号，从小到大顺时针排列在一个圆周上，然后从1号开始顺时针一个隔一个取小球，直至所有的小球全部取完．则最后取到的小球的编号为 ．
1
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题、第11题20分，共56分） （9）设x,y?0，且x?y?6，求证：3xy?3?2． 1?y1?x 2
（10）已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P为C上任一点，△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为
R,r．若|PF1|?|PF2|?6Rr总是成立的，问：这样的椭圆是否存在？若存在，求该椭圆的离心率；若不
存在，请说明理由．
3
（11）f(x)为定义在实数集R上的实值函数且满足：对任何实数x1,x2，当|x1?x2|?1时有
|f(x2)?f(x1)|?1，及f(0)?1．
证明：?|x|?f(x)?|x|?2．
4
全国高中数学联赛模拟卷（5）加试
（加试时间：150分钟
满分：180分）
学校 ．姓名 ．得分 ． 一、（本题满分40分）
222已知H为锐角△ABC的垂心，且满足AH?BH?CH?7，AH?BH?CH?3．
（Ⅰ）求△ABC的外接圆半径R； （Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值． 5