第9章 微分方程
内容提要
一.基本概念
1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程. 2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶. 3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线).
4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解.
5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件. 6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解. 二.微分方程的类型及其解法 1.一阶微分方程 方程类型 变量可分离 标准形式 dy?f(x)?g(y)dx dy?y??f??dx?x? 求解方法 dy?g(y)??f(x)dx?C u?yx,代入得 齐次型方程 令duf(u)?u?dxx,再分离变量 一阶线性微分方程 y??P(x)y?Q(x) 方法一:常数变易法 方法二:公式法 ?P(x)dx??P(x)dxdx?C?y?e?Q(x)e????? 贝努利方程 1?nz?ydyn令化为一阶线性方程?P(x)y?Q(x)ydxdz(n?0,1) dx?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) 后再求解
2.高阶微分方程
(1)可降阶的高阶微分方程. 典型形式 y(n)?f(x) y???f(x,y?) 求解方法 两边经过n次积分即可 dpdx 令(不显含未知函数y) y??p,y???dp?f(x,p)得dx为一阶微分方程，再求解 y???f(y,y?) y??p,y???令(不显含自变量x) pdpdpdydp???pdxdydxdy 得解 (2)二阶线性微分方程的解结构 记二阶线性微分方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)dp?f(y,p)dy为一阶微分方程，再求??????????????(1)
对应的齐次方程为y???P(x)y??Q(x)y?0*????????(2)
若y为(1)的一个特解,y1,y2为(2)的两个线性无关的特解,则
c1y1?c2y2为(2)的通解
y*?c1y1?c2y2为(1)的通解.
注:对于n阶线性微分方程的解结构也有类似结论. (3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法 y???py??qy?0(p,q为常数)????????????????(3)
首先写出对应于该方程的特征方程
2 ??p??q?0
解此方程，求出两特征值?1,?2,根据?1,?2的不同情形按下表写出通解.
?1,?2 两个不相同的实根?1,?2 两个相的实根?1??2 一对共轭复根??i? 通解 y?c1e?1x?c2e?2x y?(c1?c2x)e?1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) (4) n阶常系数线性齐次微分方程的解法 以上结论可推广至n阶常系数线性齐次微分方程
y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)???pn?1y??pny?0???????????(4)
其中pi(i?1,2,3,?,n)为常数.
nn?1n?2??p??p????pn?1??pn?0 12根据特征方程
的根的四种情况,分别写出对应的解：
a) ?为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解e
?x?xk?1?xe,xe,?,xe ?kkb) 为特征方程的重实根, (4)有相应的个解
axaxecosbx,esinbx a?bic) 为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解
?xd) a?bi为特征方程的k重共轭复根,(4)有相应的2k个解
axaxaxaxk?1axk?1axecosbx,esinbx,xecosbx,xesinbx,?,xecosbx,xesinbx
若记以上求出的n个解为y1(x),y2(x),?,yn(x),则（4）的通解就是
c1y1(x)?c2y2(x)???cnyn(x)
(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
y???py??qy?f(x)(f(x)?0)????????????????(5)
其中p,q为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解c1y1?c2y2,再求出(5)的一个特解y*,则(5)的通解为y?y*?c1y1?c2y2 而y的求法如下:
*当f(x)为某些特殊类型函数时,用待定系数法求y.
*?xf(x)?ePm(x),其中?为常数,Pm(x)为x的m次多项式 a)
*k?xy?xQ(x)e????????????????(6) m则可设(5)的特解为
?0,?不是(3)的特征方程的根;?k??1,?是(3)的特征方程的单根;?2,?是(3)的特征方程的二重根;?其中
Qm(x)为与Pm(x)同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出Qm(x),从而求出y*.
?x?Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x? f(x)?eb)
其中?,?均为常数, Pl,Pn(x)分别为l次, n次多项式. 则(5)的特解可设为
y*?xke?x?Qm(x)cos?x?Rm(x)sin?x???????????????(7)
?0,k???1,其中???i不是(3)的特征方程的根???i是(3)的特征方程的单重根
Qm(x),Rm(x)为m次多项式,m?max?l,n?
将(7)代入(5)比较同类项系数可求出Qm(x),Rm(x),从而求出y.
复习指导：
*第9章 微分方程
学习指导
一．解微分方程的方法
解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解，
确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。
所学的微分方程分类如下 一 dy?f(x)?g(y)阶 dx变量可分离: 微 分 dy?y??f??方 dx?x? 程 齐次型方程: 一阶线性微分方程: y??P(x)y?Q(x) dy?P(x)y?Q(x)yn贝努利方程: dx高 阶 微 分 方 程 可降阶的高阶微分方程 (n?0,1) y(n)?f(x) y???f(x,y?) (不显含未知函数y) y???f(y,y?) (不显含自变量x) 常系数线性微分方程 常系数线性齐y???py??qy?f(x)次微分(p,q为常数) 方程 二阶常系数线性齐次微分方程 y???py??qy?0 n阶常系数线性齐次微分方程 y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)???pn?1y??pny?0 常系数线性非齐次微f(x)?e?xPm(x)的情况, 其中?为常数,Pm(x)为x的m次多项式 分方程(二阶) f(x)?e?x?Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x?的情况, 其中?,?均为常数, Pl,Pn(x)分别为l次, n次多项式.
注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授.
二． 微分方程的应用题
解微分方程的应用题分两步：
a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一般利用导数的几何意义列方程,对于物理问题一般根据微元法和物理定理列方程。
注: 在应用问题中常常包含有一些初试条件，在列方程时不要遗漏。 b) 解微分方程。