计算方法总复习 第一章 绪论
例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。
e?x?x**?2.718281828??2.7182?0.0000818212?10?3解；
?0.0005??12?101?4
故有四位有效数字。
例2．近似数x*?0.01999关于真值x*?0.02000有几位有效数字
e?x?x**?0.01999??0.02000?0.0000112?10?4解：
?0.00005??12?10?1?3
故有三位有效数字。
例3．数值x*的近似值x=0.1215×10－2，若满足
x?x??( )，则称x有4位有
效数字
点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。 解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如0.a1a2a3?an的数
则绝对误差限一定为?10?4，由于题目中的数x?0.a1a2?an?10?2,故最终的
21绝对误差为
12?10?4?10?2?12?10?6
*****?0.001,x3?0.100，试确定x1?x2?x3的相对误差限。例4．有效数x1*??3.105,x2
点评；此题考查相对误差的传播。
?n?f*?**er(y)???()er(xi)xi??i?1?xi?*y*
*故有er(x?x?x)?*1*2*3er(x1)x1?er(x2)x2?er(x3)x3x?x?x*1*2*3*****?e(x1)?e(x2)?e(x3)x?x?x*1*2*3***
1**解：er(x1*?x2?x3)??e(x)?e(x)?e(x)x?x?x*1*2*3*1*2*3?2?10?322?3.105?0.001?0.100?1?10?3?1?10?3=0.0004993
例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：12?8?10?2?1?116?10?1?0.00625（有效数字与相对误差限的关系）
解法2；?10?2?0.84?0.0059524（相对误差限的概念）
21例6．nx*的相对误差为x*的相对误差的----倍。
?n?f*?解：根据误差传播公式er(y)???()er(xi*)xi*??i?1?xi?*y*
则有 er(nx*)?(nx*)'er(x*)x*/nx*?1
n
第二章
例1．设f(x)可微，求x?f(x)根的牛顿迭代公式----。 解；化简得到 x?f(x)?0 根据牛顿迭代格式 xk?1?xk?f(xk)f'(xk)xk?f(xk)1?f'(xk)3(k?0,1,2,?)
则相应的得到 xk?1?xk?例2： 求方程
(k?0,1,2,?)
f(x)?x?x?1?0
在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。
思路；用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x0 = 1.25将区间二等分，由于f (x0)< 0，即f (x0)与f (a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a1, b1）。 对区间（a1, b1）再用中点x1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3； 解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
x?xk?bk?1?ak?1?*12k?1(b?a)
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：
k 0 1 2 3 4 ak 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 bk 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 f (xk)的符号 - + - + + 5 6 1.3125 1.3203 1.3281 1.3281 1.3203 1.3242 - - 例3：求方程f(x)?x?10x?2?0的一个根
解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方
程改为同解方程
10x?x?2 x?lg(x?2)
由此得迭代格式
xk?1?lg(xk?2)
收敛性判断；当x?(0,1)时，?(x)?lg(x?2)?(0,1)，且由于
?'(x)?1(x?2)ln10?12ln10?0.2171?1， 故迭代格式收敛
取初始值x0 = 1，可逐次算得
例4：求方程x3?3x?1?0在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。
解：将方程变形
x?13(x?1)??(x)3
x1 = 0.4771 x2 = 0.3939 ? x6 = 0.3758 x7 =0.3758
因为?'(x)?x2?0，在[0, 0.5]内为增函数，所以
L?max?'(x)?0.5?0.25?1
2满足收敛条件，取x0 = 0.25，用公式（2.3）算得
x1 = ? (0.25) = 0.3385416 x2 = ? (x1) = 0.3462668
x3 = ? (x2) =0.3471725 x4 = ? (x3) =0.3472814 x5 = ? (x4) =0.3472945 x6 = ? (x5) =0.3472961 x7 = ? (x6) =0.3472963
取近似根为x* = 0.347296
例5： 用牛顿迭代法建立求平方根c （c >0）的迭代公式，并用以上公式求
0.78265
解：设f(x)?x2?c，（x >0）则c就是f (x) =0的正根。由为f’ (x) = 2x，所以得迭代公式
xk?1?xk?xk?c2xk2
或
xk?1?1?c??xk?? ?2?xk?? （2.6）
c由于x >0时，f’ (x) >0，且f? (x) > 0，根据定理3知：取任意初值x0?确定的迭代序列{xk}必收敛于c。 取初值x = 0.88，计算结果见表
k 0 1 2 3
0.88 0.88469 0.88468 0.88468
xk
，所
故可取0.78265?0.88468
第三章
例1．.用列主元消去法解线性方程组
?12x1?3x2?3x3?15???18x1?3x2?x3??15?x?x?x?623?1
计算过程保留4位小数.
?12解. [A?b]=??18???1??18?(r1,r2)????12???1r2?r3?12181r1?3313?313?11?13115???15?6?? (选a21??18为主元)
?15??15?6??3?1(换行，消元)
消元)
??18???18???0???0r1?12.33330.94441.1667?15??5?5.1667??(选a32?1.1667为主元，并换行
??18???????0???0(r2,r3)1r3?r21.16673?11.16670.944403.1428?15??5.1667?9.4285?? 系数矩
阵为上三角形矩阵，于是回代得解
x3?9.42853.1428?3.0000
x2?[5.1667?0.9444?3.0000]/1.1667?2.0000x1?[?15?3.0000?3?2.0000]/(?18)?1.0000
方程组的解为X?(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T
例2：用列主元高斯消去法求解方程
?2x1?x2?3x3?1??4x1?2x2?5x3?4?x?2x?72?1
由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的
“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：
?2?131???*254? ?4??1207?? 第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换
到第一行得到