第一章 曲线论
一、单项选择题
??1、过点r0且以非零向量a为方向的直线方程为
???????????????A、 r?a?r0?0 B、(r?a)?r0?0 C、(r?r0)?a?0 D、(r?r0)?a?0
??2、已知向量a?b，则必有 ；
??????????A、 a?b?0 B、 a??b C、a?b?0 D、 a?b?0
??3、设r, s分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ；
????????????????????A、(r?s)??r??s B、(r?s)??r??s?r?s? C、(r?s)??r??s D、(r?s)??s??r?s?r?
??4、过r0且垂直于非零向量n的平面方程是
?????????????A、(r?r0)?n?0 B、 (r?r0)?n?0 C、r?r0?vn D、(r?n)?r0?0
??????5、设r(t),s(t),u(t)分别是可微的向量函数,则(r,s,u)?? ；
??????????????????A、(r?s)?u? B、(r?s)?u? C、(r',s',u') D、(r?,s,u)?(r,s?,u)?(r,s,u?)
?6、单位向量函数r(t)关于t的旋转速度等于
A、r'(t) B、r''(t) C、r'(t) D、 r''(t) 7、向量函数r?r(t)具有固定方向的充要条件是 ；
?????????????A、r(t)?1 B、r'(t)?1 C、 r(t)?r'(t)?0 D、 r(t)?r'(t)?o
??8、向量函数r?r(t)具有固定长的充要条件是 ；
??????? A、r(t)?r'(t)?0 B、r'(t)?r(t)?0 C、r(t)?1 D、r'(t)?1
9、星形线x?acost,y?asint上对应于t从0到?的一段弧的长等于 ； A、a B、2a C、3a D、 6a
33??10、已知向量a//b，则必有 ；
?????????? A、 a?b?0 B、 a??b C、a?b?0 D、 a?b?0
11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ； A、法平面 B、切平面 C、密切平面 D、从切平面 12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ； A、曲率??0 B、曲率??? C、挠率??c(c?0) D、挠率??0
13、设圆的半径为R，则圆上每一点的曲率都是 ； A、0 B、1 C、R D、
1 R14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ； A、平面曲线 B、挠曲线 C、一般螺线 D、直线
15、设曲线r?r(t)的自然参数方程为r?r(s)，则曲线在任一点的单位切向量是 ；
1
??????drdr??A、r(t) B、r(s) C、 D、
dtds16、曲率恒等于零的曲线是 ；
A、平面曲线 B、直线 C、挠曲线 D、一般螺线 17、 圆柱螺线r?{cost,sint,t}，在点t??的切线方程是 ； A、
?x?1yz??x?1yz??x?1yz B、 C、?????? D、?y?z???0
0?111?110?1118、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；
① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角
A、二个 B、三个 C、四个 D、五个 19、下列不是一般螺线性质的是 ；
A、切线和固定方向作固定角 B、主法线与一个固定方向垂直 C、曲率和挠率的积等于一个常数 D、副法线与一个固定方向作固定角 E、曲率和挠率的比等于一个常数
20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ； A、球面曲线 B、圆 C、平面曲线 D、直线
21、空间曲线c上正则点P的切线和该点邻近点Q的平面?，当点Q沿曲线趋于点P时，平面?的极限位置称为曲线的点的 ；
A、密切平面 B、法平面 C、切平面 D、从切平面
二、填空题
????1、设曲线r?r(t)的自然参数方程为r?r(s)，则曲线在任一点的单位切向量是 ；
dx??2、 向量函数r(t)是区间[a,b]上的连续函数,则[r(t)dt]? ；
dx?a?3、 直线r(t)??t,2t,3t?的自然参数方程是 ；
4、设曲线参数方程r?r(s)，则参数s是自然参数的充要条件是 ； 5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；
6、若空间曲线r?r(t)上的密切平面都垂直于一固定向量e，则该曲线是 ； 7、空间曲线是直线的充要条件是 ；
8、若空间曲线r?r(t)满足(r?,r??,r???)?0，则该曲线是 ； 9、曲线r?????????????r(t)上的点都是正常点，则必有 ；
10、曲线(c)上所有点都是正常点时,则称该曲线(c)为 . 11、空间曲线的自然方程是 ；
2
12、 r(t)具有固定长的充要条件是 ； 13、r(t)具有固定方向的充要条件是 ； 14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ； 15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定. 16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.
17、圆柱螺线r(t)??cost,sint,t?在点（1，0，0）处的切线方程是 ； 18、 曲线r(t)??3cost,3sint,5t?上的每一点都是 ；
19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ； 20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ； 21、设圆的半径为R，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ； 22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；
23、圆柱螺线r?{acost,asint,bt}的自然参数表示为 ； 24、 若曲线r?r(t),a?t?b中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ； 25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。
???????三、判断题
??????1、若a?b?0，则a?0或b?0 . （ ）
b???b??
2、 如果m是常向量,则有?m?r(t)dt?m??r(t)dt. ( )
aa3、对空间曲线,切向量的正向和曲线的参数t的增值方向是一致的.( ) 4、 曲线r(t)??3cost,3sint,5t?上的每一点都是正常点. （ ） 5、如果一条曲线的密切平面固定，则曲线是平面曲线 （ ）
6、曲线r?r(t)在P(t0)点的密切平面由P(t0)和向量r''(t0)完全确定.( ) 7、 若r(t)和s(t)是在点t0连续的向量函数,则r(t)?s(t)在点t0也连续. ( ) 8、挠率不恒为零的曲线称为挠曲线 ( )
9、 如果一个向量函数的模等于固定长，那么它的微商为零. （ ） 10、切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线.( ) 11、 ?(s)是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度.（ ）
12、曲线在某点的曲率和挠率完全确定了曲线在该点邻近的近似形状； （ ） 13、当曲线在一点处的弯曲程度越大,切向量对于弧长的旋转速度就越小. ( ) 14、 挠率为定数的曲线是平面曲线. ( )
15、空间曲线挠率大于零时,曲线由下往上成左旋曲线.（ ） 16、空间曲线穿过法平面和从切平面,但不穿过密切平面. ( ) 17、空间曲线r
3
??????????????r(t)，若(r?,r??,r???)?0，则曲线为平面曲线
18、在光滑曲线的正常点处，切线必存在且唯一 （ ）
第二章 曲面论
一、单项选择题
??1、 如果(u1,v1)是曲面r?r(u,v)的正常点，则在该点处有 ；
???????????A、ru?rv?0 B、ru?rv?0 C、 ru?rv?0 D、 ru?rv?0
2、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是经过适当选择参数
A、它们的第一基本形式相等 B、 它们的第二基本形式相等
C、它们的第一基本形式成比例 D、 它们的第二基本形式成比例 3、 曲面的曲纹坐标网是正交的充要条件是 ；
A、 F=0 B、 G=0 C、 L=0 D、M=0 4、 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 ；
A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 5、 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 ；
A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0
6、 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ；
A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0
7、两个曲面之间的变换是等距变换的充要条件是经过适当的参数变换
A、它们的第一基本形式成比例 B、 它们的第一基本形式相等
C、 它们的第二基本形式成比例 D、 它们的第二基本形式相等 8、 曲面上的一点P处有L?N?M?0,在点P称为曲面的 A、 双曲点 B、 椭圆点 C、抛物点 D、平点 9、 下列曲面中不是可展曲面的是
A、 椭圆抛物面 B、一条曲线的切线曲面 C、柱面 D、锥面 10、 在光滑曲面r?r(u,v)上,微分方程du?0表示 ；
A、 一条曲线 B、 一族曲线―曲线族 C、 两条曲线 D、 两族曲线―曲线网 11、 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 ；
?????12、 直纹面r?a(u)?vb(u)的V—曲线是 ；
A、 法平面 B、 密切平面 C、 从切平面 D、 法线曲面
A、直母线 B、与直母线垂直相交的直线 C、与导线a(u)垂直的曲线 D、与导线a(u)平行的曲线
??13、曲面上的一点P处有LN?M14、曲面上的一点P处有LN2?0,则点P称为曲面的 ；
A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点
?M2?0,则点P称为曲面的 ；
2A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点
15、曲面上的一点P处有LN?M?0,则点P称为曲面的 ；
A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 脐点 16、下面除了 之外都是曲面的等距不变量（保长不变量）
A、曲面上曲线的弧长 B、曲面上两曲线的交角 C、曲面域面积 D、曲面曲线的曲率 17、曲面S：r?r(u,v)的每一点满足F=M=0，则此曲面的曲率线是
4
??A、u?曲线 B、v?曲线 C、曲面上的u?曲线和v?曲线 D、参数曲线的二等分轨线 18、曲面S：r?r(u,v)在P点处的两个方向(d)?du:dv和(?)??u:?v既正交又共轭，则 ????????????dr??r?,dr??n?0dr??r?0,dr??n?0 A、 B、
2 C、dr??r?????????0,dn??n?0 D、dr??r?0,dr??n?0
二、填空题
1、在曲面r??r(u,v)上，微分方程du?dv?0表示 ； ?2、曲面r(?,z)??cos?,sin?,z?在点（0，0）处的切平面方程是 ；
?3、曲面r(?,z)??cos?,sin?,z?在点(?,0)处的切平面方程是 ；
??4、曲面r?r(u,v)是正则曲面，则必有 ；
5、曲面在脐点处，第一、第二基本量满足 ； 6、曲面在圆点处，第一、第二基本量满足 ； 7、球面上每一点都是 ；
8、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 ； 9、两个曲面之间的一个变换是等距变换的充要条件是 ； 10、已知平面π到单位球面s的中心距离为d(0?d?1),则π与s交线的曲率为 ； 11、曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 ； 12、空间曲线r?r(t)的主法线曲面的方程是 ；
13、设曲面r?r(u,v)的u-曲线与v-曲线的交角为?，则cos?? ；
14、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的渐近方向，则此曲线称为曲面的 ； 15、曲面上的一点P处有L=M=N=0，则点P称为曲面的 ； 16、曲面上一点P处使法曲率kn=0的方向为曲面在点P的 ；
17、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的主方向，则此曲线称为曲面的 ； 18、平面上每一点都是 ；
19、如果曲面上有直线，则它一定是曲面的 ； 20、曲面在椭圆点邻近的形状近似于 ； 21、曲面的三个基本形式之间满足 ； 22、平面族ax?2ay?2z?2a的包络是 ； 23、平面族xcos??ysin??zsin??1的包络是 ；
24、曲面族S?：xcos??ysin??zsin??6?0的包络为 ； 25、曲面族S?：xsin??ycos??zcos??3?0的包络为 ；
2?????三、判断题
1、 曲面上一点P处使kn=0的方向称为曲面在点P的主法方向 . ( ) 2、设曲面的第一基本形式为I
?Edu2?Gdv2，则u?曲线和v?曲线的位置关系为正交。（ ）
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3、用曲面S：r?r(u,v)的第一基本量表示曲面域D（D对应uv平面上的区域为D）的面积为
??~~??EG?F2dudv。（ ） D4、 曲面的第二基本形式是正定的. ( )
5、曲面在椭圆点附近的形状近似于双曲抛物面. ( ) 6、曲面的曲纹坐标网都是正交的. ( )
7、 如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近曲线. ( ) 8、平面上每一点都是平点. ( )
9、 等距变换一定是保角变换,保角变换却不一定是等距变换. ( ) 10、曲面上一点处的杜邦指标线是在该点的切平面上的有心二次曲线. ( )
11、曲面上的弧长、交角、曲面域的面积等都是等距不变量,也是曲面的内蕴量. ( ) 12、一个曲面如果它每一点处的平均曲率H=0,称之为极小曲面. ( )
13、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值?. ( )
14 直纹曲面r??a?(u)?vb(u),当(a??,b?,b??)?0时，是可展曲面. ( )
15、 在椭圆柱面上任何点处,高斯曲率都等于零. ( ) 16、Ⅰ=2du2?6dudv?3dv2不是曲面的第一基本形式 （ ）
17、由于高斯曲率K?LN?M2EG?F2，故高斯曲率不是内蕴量. ( ) 18、一个曲面为可展曲面的充要条件为单参数平面族的包络。 （ ）
19、可展曲面只有三类：锥面、柱面、切线面，而直纹面也只有三类。 （ ）
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