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2010届高三第二次联考数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
n?n1、设f?n??i?i(n?N)，则集合xx?f(n)中元素的个数为
??A、1 B、2 C、3 D、无穷多个 2、已知等比数列?an?中，a1，a3是方程x2?8x?1?0的两个根，则a7=
A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不正确 3、下面说法正确的是
A、若f?x?在x?x0处存在极限，则f?x?在x?x0处连续 B、若f?x?在x?x0处无定义，则f?x?在x?x0处无极限 C、若f?x?在x?x0处连续，则f?x?在x?x0处存在极限 D、若f?x?在x?x0处连续，则f?x?在x?x0处可导 4、“数列?an?为等比数列”是“数列?an?an?1?为等比数列”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
n3?x(x?1)(x?2)??(x?n?1),例如M?5、已知x?R,n?N*,定义:Mx5?(?5)?(?4)
7?(?3)??60,则函数f(x)?Mx?3?cos2009x 2010B、是奇函数不是偶函数
D、既不是奇函数又不是偶函数
A、是偶函数不是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 6、已知f?x??tanx,x??0,????2??，若存在a,b??0,????,使f?cota??a,cot??f?b????b同时成立，则 2??A、a?tanb B、b?cota C、a?b D、a?b??2
7、设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),则下列命题中是真命题的个数是 ①存在一个圆与所有直线相交
②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④M中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点P不在M中的任一条直线上 ⑥对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
1
A、3 B、4 C、5 D、6
x2y28、已知点P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为
ab△PF1F2的内心，若S?IPF1?S?IPF2??S?IF1F2成立，则?的值为
22a?bA、 2aB、
aa2?b2 C、
b aD、
a b9、一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的
A、
23193023 B、 C、 D、 2927312710、平面上有四点，连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、不平行、不垂直，从每一点出
发，向其他三点作成的一切直线作垂线，则这些垂线的交点个数最多为
A、66 B、60 C、52 D、44
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的 题，其答案按先后次序填写． 11、设f(x)???132，x?[?,]，则f(x)的值域为_________________ cosx?sinxcosx?26422x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 12、已知x,y的取值如下表所示：
??0.95x?a，则a?_______________ 从散点图分析，y与x线性相关，且y13、在实数数列?an?中，已知a1?0，|a2|?|a1?1|，|a3|?|a2?1|，…，|an|?|an?1?1|，则
a1?a2?a3?a4的最大值为______________．
14、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木
1k?N*。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进 k4入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从这个实事中提炼出一个不等式组： ．
7板的钉子长度后一次为前一次的
??15、给定项数为m(m?N*,m?3)的数列?an?，其中ai??0,1?(i?1,2,?m)．若存在一个正整数
k(2?k?m?1)，若数列?an?中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称
数列?an?是“k阶可重复数列” ．例如数列?an?：0,1,1,0,1,1,0.因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等，所以数列?an?是“4阶可重复数列” ．假设数列?an?不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4?1，数列?an?的最后一项am=______________
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分10分）
??已知向量a?(cos?,1?sin?),b?(1?cos?,sin?)．
??（1）若a?b?3,求sin2?的值；
????（2）设c?(?cos?,?2)，求a?c?b的取值范围．
??17、（本小题满分12分）
有一牛奶商店每瓶牛奶进价为0.80元，售价为1元，但牛奶必须于每晚进货，于次日早晨出售；昨晚 进货不多可能会因供不应求减少可得利润，若进货过多，次日早晨卖不完，则不能再隔夜出售（牛奶会发酸变质），每剩一瓶则造成0.80元的损失，过去的经验可以作为未来发展的参考，历史上200天的销售记录如下：
日销售量 25瓶 26瓶 27瓶 28瓶 天数 20 60 100 20 概率 0.10 0.30 0.50 0.10 在统计的这200天当中，从未发生日销24瓶以下或29瓶以上的情况，我们可以假定日销24瓶以下或29瓶以上的情形不会发生，或者说此类事情发生的概率为零.作为经销商应如何确定每日进货数. 18、（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形，?C?90?，侧棱与底面所成的角为
?(0????90?)，点B1在底面上的射影D落在BC上．
（1）若点D恰为BC的中点,且AB1?BC1，求?的值.（2）若??arccos且当AC?BC?AA1时，求二面角C1?AB?C的大小． 19、（本小题满分13分）
已知抛物线C：y?1，312x与直线l：y?kx?1没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的2两条切线，A，B为切点．
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：20、（本小题满分14分）
已知函数f(x)?PMPN?QMQN．
sinx3cosx?x(0?x??2)．
（1）求f(x)的导数f(x)；
（2）求证：不等式sinx?xcosx在?0，?上恒成立；
3
33????2? （3）求g(x)?11??(0?x?)的最大值． sin2xx222,n?N*． 2，?n?1?2?4??n21、（本小题满分14分）
数列??n?定义如下：?1?（1）求?2,?3的值； （2）求??n?的通项；
（3）若数列??n?定义为：?n?2*n?1?n,n?N*，
*①证明：?n??n?1,n?N； ②证明：?n?7,n?N．
参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题
题号 答案 11 12 2.6 13 2 14 15 １ 1 C 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D 3[2,2] 4?44??1??77k ?444????1??77k7k2三、解答题
????2216、解：（1）因a?b?(1?2cos?,1?2sin?),a?b?(1?2cos?)?(1?2sin?)
397?6?4(sin??cos?)，?sin??cos???，两边平方得1?2sin?cos??，?sin2???
41616?????1212（2）因a?c?(0,?1?sin2?)，?a?c?b?sin??sin??(sin??)?,又sin????1,1?，
24??????1??a?c?b的取值范围为??,2?.
?4?
??17、解：分别计算购入25，26，27，28瓶是的条件利润和期望利润.注：条件利润：在购入一定量条件下能获得的利润 期望利润：条件利润乘以销售概率
通过计算（略）可知：
购入25瓶时，期望利润为5.0元; 购入26瓶时，期望利润为5.1元; 购入27瓶时，期望利润为4.9元 购入28瓶时，期望利润为4.2元. 由此可知，每晚购入26瓶可获得期望最大利润, 每晚购入26瓶牛奶的期望利润为5.10元仅为一个平均值，至于每天的实际情况不可预测.
4
18、解：（1）?B1D?面ABC，?B1D?AC，又AC?BC,?AC?面BB1C1C．又AB1?BC1，由三垂线定理可知，B1C?BC1，即平行四边形BB1C1C为菱形
又?B1D?BC，且D为BC的中点，? B1C?B1B.即?BB1C为正三角形，
??B1BC?60?,?B1D?平面ABC，??B1BC即为侧棱与底且点D落在BC上，
面所成的角．???60?．
（2）过C1作C1E?BC，垂足为E，则C1E?平面ABC．过E作EF?AB，垂足为F，由三垂线定理得C1F?AB.??C1FE是所求二面角C1?AB?C的平面角．
122设AC?BC?AA1?a，在Rt?CC1E中，由?C1CE???arccos,得C1E?a．
33在Rt?BEF中,?EBF?45?,EF?19、证：(1)设A(x1,y1)，则y1?由y?222． BE?a,??C1FE?45?. 故所求的二面角C1?AB?C为45°
2312x1． 212x得y??x，所以y?|x?x1?x1． 2于是抛物线C在A点处的切线方程为y?y1?x1(x?x1)，即y?x1x?y1．
设P(x0,kx0?1)，则有kx0?1?x0x1?y1．设B(x2,y2)，同理有kx0?1?x0x2?y2． 所以AB的方程为kx0?1?x0x?y，即x0(x?k)?(y?1)?0，所以直线AB恒过定点Q(k,1)．
(2) PQ的方程为y?kx0?2(x?k)?1，与抛物线方程y?1x2联立，消去y，得 x0?k22kx0?4(2k2?2)x0?2kx?x??0．
x0?kx0?k22kx0?4(2k2?2)x0?2k,x3x4? ① 设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则x3?x4?x0?kx0?k要证
PMPN?QMx3?x0k?x3? ，只需证明，即2x3x4?(k?x0)(x3?x4)?2kx0?0 ②
QNx4?x0x4?k2(2k2?2)x0?4k2kx0?4?(k?x0)?2kx0 由①知，②式左边=
x0?kx0?k2(2k2?2)x0?4k?(k?x0)(2kx0?4)?2kx0(x0?k)??0．故②式成立，从而结论成立．
x0?k
5
4?2220、解：（1）f(x)?cosx?sinxcos3x?1.
3'4?22(2) 由(1)知f(x)?cosx?sinxcos3x?1，其中f(0)?0 令f'(x)?G(x)，对G(x)求导数
3'2323147??21?4?323得G(x). G(x)?cosx(?sinx)??2sinxcosxcosx?sinx(?)cos3x(?sinx)?
33?3?''7??43= sinxcos3x?0在x?(0,)上恒成立．故G(x)即f(x)在(0,)上为增函数，故f'(x)?f'(0)?0
229进而知f(x)在(0,?2)上为增函数，故f(x)?f(0)?0,当x??2时，sin3x?x3cosx显然成立．
于是有sin3x?x3cosx?0在(0,
33?2
]上恒成立．
2(sin3x?x3cosx)(3) ?由(2)可知sinx?xcosx?0在(0,]上恒成立． 则g(x)??0在
2x3sin3x'????4(0,]上恒成立．即g(x)在(0,]单增, 于是g(x)?g()?2
222?21、解：（1）?2?2sin（2）设?1?2sin?8,?3?2sin?16(其他合理答案也给分).
?4，则?2?2?4?4sin2?4?2?2cos??2(1?cos) 44??4sin2?23?2sin?23.
一般地，若?k?2sin为 ?n?2sin?2k?1，则由递推关系可知：?k?1?2sin?2k?2∴??n?的通项公式
?2n?1(n?N)
（3）① ∵?n?2n?2sin?2n?1?n?，于是
?n?12n?2sin2n?3sin?2n?1?2n?3sin?2n?2?2n?22n?2?cos??1, ?2n?2n?32sinn?22cos?*∴?n??n?1,n?N.
② 因为当0?x??2时，sinx?x，所以?n?2n?2sin?2n?1?2n?2??2n?1?2??7.
6