《固体物理学》习题参考 第一章
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=
22a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=32a
那么，
Rf2a6== Rb3a31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
正方 a=b
a^b=90° 六方 a=b
a^b=120° 矩形 a≠b
a^b=90° 带心矩形 a=b
a^b=90° 平行四边形 a≠b
a^b≠90°
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（010）(213) (133)(110)(323)（100）
答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
a1?no?hda2?no?kd ……… (1) 由于a3=–（a1+ a2） a3?no?ida3?no??(a1?a3)?no把（1）式的关系代入，即得id??(hd?kd) i??(h?k)
根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），
1(33)→
（100）→(1010)，（010）→(01(1323)，(110)→(110)，(213)→(2133) 100)，(323)→(3213)，
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：
?3?2?（2）体心立方：（3）面心立方：686（4）六方密堆积：
2?6（5）金刚石：3?16。
答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。
1
于是有：
1114r3Z?Ni?Nf?Ne?Nc边长为a的立方晶胞中堆积比率为F?Z*?32483a
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：θ=
4/3?r3(2r)3=
?6
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为42?(4/3?r3)= r，那么： θ=
33(4/3r)3?82?6
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么： θ=
4?(4/3?r3)= 3(22r)（4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关
42?(?r3)2?3系为a=2r，因此 θ==
632ac2（5）对于金刚石结构 Z=8
3?4r343a3?8r 那么F?Z*?3?8???()3=163a38. 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，
基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （2）晶胞的体积=
-10
c??(a?b)= 3k?(3i?3j)=27*10
-30
3
-30
(m)
3
(a?b)==13.5*10(m)（3）原胞的体积=c?1.7 六方晶胞的基失为：a1(3i?3j?3k)?(3i?3j) 2?3a3aai?j，b??ai?j，c?ck求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 222232ac 2 ，
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为
b1?2?b(?c)2?2??i?j?a3ab2?2?(c?a)2?2???i?j?a3a ，
b3?
2?(a?b)2??k
c?其第一布里渊区如图所示：
1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为
dhkl?1hkl()2?()2?()2abc 2
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为
a1h，
a2k，
a3l。该平面（ABC）法线方向的
单位矢量是
n?dhdkdlx?y?z a1a2a3这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
dh2dk2dl2h2k2l2?1()?()?()?1 故d?[()?()?()]2 a1a2a3a1a2a32 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.769 1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
序号 θ/（°） 1 19.611 已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
I?Fhkl|?f2[1?cos?n(h?k?l)]2?f2sin2?n(h?k?l)
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
2dhklsin???(n?1)
得 d110??2sin?1?1.5405?10?2.295?10(m) o2sin19.611同法得
d200??2sin?2?1.6334?10?10(m)
d211??2sin?3?1.3377?10?10(m)
d220??2sin?3?1.1609?10?10(m)
d310?应用立方晶系面间距公式
?2sin?4?1.0403?10?10(m)
dhkl?可得晶格常数aah?k?l 222 ?dhklh2?k2?l2把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
3
a?3.2725?10?10(m)
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区. 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1?ai
13a2?ai?aj
22aj用正交关系式bi?i?j?2??ij??02?,i?j
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 1b?b1xi?b1yj b2?b2xi?b2yj
?2? b1?a2?0 b2?a1?0 b2?a2?2?
由ba11?得到下面四个方程式
ai?(b1xi?b1yj)?2? （1）
13(ai?aj)?(b1xi?b1yj)?0 （2） 22ai?(b2xi?b2yj)?0 （3）
13(ai?aj)?(b2xi?b2yj)?2? （4） 22由（1）式可得：b1x?2?a由（2）式可得：b1y??2?4?由（3）式可得：b2x?0由（4）式可得：b2y? 3a3a于是得出倒易点阵基矢b1?2?2?4?i?j b2?j a3a3a－27
第三章 习题答案
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10 解：一维单原子链的解为
kg，恢复力常数β＝15N·m
－1
Xn?Aei(?t?qna)
据周期边界条件
X1?XN?1，此处N=5,代入上式即得
e?i(5a)q?1
所以 5aq＝2??（?为整数）
?a?q? 由于格波波矢取值范围：??a。 则 ?55??? 224
故?可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：?4?5a,
?2?5a,0,
2?4?,
5a5a
由于??4?qasinm213
，代入
?，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×10，4.99×10，0，4.99×10，8.06×10 3.2
求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
13
13
13
?????2N?(???)2m2?12 式中?m?4?m是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
解：对一维单原子链，dN 所以???2??q?dq ??(?)d????q?dq （1）
????2??q?d?dq? 由色散关系?4?qasinm2 求得
d??dq4?qaacos??m224?aqa1/2a4?(1?sin2)?[()??2]1/2 （2） m222m 而
??q??LNa?2?2?， 则由（1）式可得
?????2Na2?a4?2N2[??2]1/2?(?m??2)?1/2 2m? 由于
4???m ，则总的振动模数为 m
N?????d???wm0?wm2N0?2(?m??2)?1/2d?
令
??sin??m?，则积分限为0到
?/2 ， 故
2N?
N??2?20??cos???1cos?d?????N02
3.3
设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为?????9N?2 3?m3?2解：由书上（3－69）式可得 ?????g???v?2?2v3由（3－71）可得 ?D由此可得 2?23 （1）
??m?6?2n??1/3v
3v??m3n ，代入（1）式得
?????3.4
9N?3m?2
－27
对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10（1）
光学波的最高频率和最低频率
A； ?maxkg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m，试求
－1
??和?min； ?max（2） （3） （4）
声学波的最高频率
相应的声子能量（以eV为单位）； 在300K可以激发频率为
??A，?min和?max的声子的数目； ?max 5