12、分式方程及其应用
【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：
x2??1 x?1x?1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以(x?1)(x?1)，得
x2?2(x?1)?(x?1)(x?1)，即x2?2x?x2??1?2， ?x?3
23经检验：x?是原方程的根。2
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例2. 解方程
x?1x?6x?2x?5??? x?2x?7x?3x?6 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
(x?6)与(x?7)、(x?2)与(x?3)的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得
x?6x?5x?2x?1??? x?7x?6x?3x?2
11?(x?6)(x?7)(x?2)(x?3)所以(x?6)(x?7)?(x?2)(x?3)即8x??369?x??29。 2
经检验：原方程的根是x??
例3. 解方程：
12x?1032x?3424x?2316x?19???
4x?38x?98x?74x?5 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
1221?4??3??4?
4x?38x?98x?74x?52222??? 即
8x?98x?68x?108x?7 解：由原方程得：3?
于是11?，(8x?9)(8x?6)(8x?10)(8x?7)
所以(8x?9)(8x?6)?(8x?10)(8x?7)解得：x?1经检验：x?1是原方程的根。
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6y?12y2?4y2 例4. 解方程：??2?2?0
y?4y?4y?4y?4y?4 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
6(y?2)(y?2)(y?2)y2 解：原方程变形为：???0 22(y?2)(y?2)(y?2)(y?2)6y?2y2 约分，得???0
y?2y?2(y?2)(y?2) 方程两边都乘以(y?2)(y?2)，得 6(y?2)?(y?2)2?y2?0
整理，得2y?16 ?y?8经检验：y?8是原方程的根。
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解： 例1．若解分式方程 A. ?1或?2 C. 1或2
2xm?1x?1??产生增根，则m的值是（ ） x?1x?xxB. ?1或2
D. 1或?2
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：
x?0或x??1，化简原方程为：2x2?(m?1)?(x?1)2，把x?0或x??1代入解得m?1或?2，故选择D。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵
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树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：
6066? xx?2
60x?120?66x?x?20经检验：x?20是原方程的根?x?2?22
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
42?80??7?x?yx?y? 由题意，得?
?40?70?7??x?yx?y?x?17解得：??y?3
x?17?经检验：?是原方程的根y?3? 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
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例2. m为何值时，关于x的方程
22mx3???会产生增根？ x?2x?4x?2 解：方程两边都乘以x?4，得2x?4?mx?3x?6 整理，得(m?1)x??10
10m?1如果方程产生增根，那么x2?4?0，即x?2或x??210?2?m??4 （1）若x?2，则? m?110（2）若x??2，则???2?m?6m?1（3）综上所述，当m??4或6时，原方程产生增根当m?1时，x?? 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
S?avS?av2S C. D. ba?ba?b2m?1?有增根，则m的值等于（） 2. 如果关于x的方程
x?3x?3 A.
B.
A. ?3 3. 解方程：
B. ?2
C. ?1
D. 3
S a?b（1）
1111???…?2 x?10(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?9)(x?10)- 5 -