待定系数法求特殊数列的通项公式
靖州一中 蒋利
在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。
求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。 第一类别：an=Aan-1+B
例1设x1=2,且xn=5xn?1+7.求数列的通项公式 解：所给的递推公式可变形为
7m7m7?),令m=?.则m= 55554777于是xn+ =5(xn?1+)，{ xn+ }是等比数列，其首项为
444715715x1+=,公比为q=5.于是xn+＝·5n?1
4444157所以 xn＝·5n?1－
44xn+m=5xn?1+7+m=5(xn?1+
例2 设x1=1,且 xn=
3xn?1（n=2，3，4，…）
2xn?1?5求数列｛xn｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为：
152?? xn3xn?1323m15123m,则m=1 ?m?(??),令m=?55xn3xn?155于是
1511?1?(?1)。{?1}是等比数列， xn3xn?1xn51?1=2,公比是q=
3x1
其首项是
5n-1 3n?11于是。所求的xn=?1=2（）
3xn2?5n?1?3n?1第二类别：an=Aan-1+Ban-2
例3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…） 求数列｛xn｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为
xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-令m=-22，则m=－2,或m=－11 m?1322xn-2） m?13于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)
｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。
于是xn-2xn-1＝3·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。 由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3
例4：设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,…） 求数列｛xn｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为 xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+令m=
18，则m=2,或m=-9 m?718xn-2) m?7xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)
｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2 xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2
由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7·(-2)n-1）/11 第三类别：an=Aan-1+f(n)
例5设x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,…）……（1） 求数列｛xn｝的通项公式
解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得
xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1 ………（2） 两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5 xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+令m=
5m?) 335m555?,则m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+) 332225｛xn-xn-1+｝是等比数列，
2531其首项为x2-x1+=,其公比q=3。
22531于是xn-xn-1+=·3n-2 ………（3）
22由（1）与（3）消去xn-1得 xn=(31·3n-1-10n-17)/4
例6：设x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,……）……（1）
求数列｛xn｝的通项公式
方法1解：x2=31, 于是（1）把n改成n-1得 xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3 ………（2） 两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋7 xn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋
7?m) 57?m777令m=,则m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋)
444577115｛xn-xn-1+｝是等比数列，其首项为x2-x1+=,
4447115其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5n-2 ……（3）
44 由（1）与（3）消去xn-1得 xn=
1(23·5n-28n-23) 16方法2：所给的递推公式可变为
An?B7n?3?) 55An?B7n?3?设A(n-1)＋B= 55A?7B?3比较系数得A=，-A+B=
55723由此求得A=，B=。于是
41628n?2328(n?1)?23xn＋=5(xn-1＋)，于是
161628n?2351115｛xn＋｝是等比数列，其首项为x1+=,
16161628n?23115其公比q=5。于是 xn＋=·5n-1
16161所以 xn=(23·5n-28n-23)
16xn＋An＋B=5(xn-1＋
例7，设x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求数列｛xn｝的通项公式
解：所给的递推公式可变为
An2?Bn?C2n2?1?xn＋An＋Bn＋C=3(xn-1＋)
332
An2?Bn?C2n2?1?设A(n-1)＋B(n-1)＋C=
332
A?2BC?1，-2A+B=，A-B+C=。 3337由此求得A=1，B=3，C=。于是
2比较系数得：A=
2n2?6n?72(n?1)2?6(n?1)?7xn＋=3(xn-1＋)
2215192n2?6n?7｛xn＋｝是等比数列，其首项为x1+=,其公比
2222n2?6n?719q=3。于是xn＋=·3n-1。
22所以 xn=
1(19·3n-1－2n2－6n－7) 2例8：设x1=1，且xn=-xn-1+3·2n，（n=2,3,…）………（1） 求数列｛xn｝的通项公式
解：x2=-x1＋12=11。于是（1）把n改成n-1得
xn-1=-xn-2+3·2n-1，2xn-1=-2xn-2+3·2n ………………（2） （1）
－（2）得xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即xn=xn-1+2xn-2
22xn-2)。 令m=，则m=1,m=-2 m?1m?1 xn＋mxn-1=(m+1)(xn-1＋
于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)
｛xn+xn-1｝与｛xn-2xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为首项x2+x1=12，公比q=2。 首项 x2-2x1=9，公比q=-1。 于是 xn+xn-1=12·2n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2 由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n
练习：
1设x1=5，且xn=7xn-1+8n+3，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式
答案xn=(151·7n-1-24n-37)/18
2设x1=1，且xn=2xn-1+3·7n-1，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式
答案xn=(3·7n-2n+3)/5
3设x1=1，且xn=-3xn-1+5·2n，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式
答案 xn=2n+1+(-1)n3n