课时规范练20 三角函数的图象与性质
课时规范练第36页 一、选择题
1.若直线y=a与函数y=sin x的图象相交,则相邻的两交点间的距离的最大值为( ) A. B.π C. 答案:D
解析:当a=1或a=-1时,相邻两交点间的距离最大,为2π. 2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( ) A.y=sin C.y=sin 答案:A
B.y=cos D.y=cos
D.2π
解析:C,D两项中函数的周期都为2π,不合题意,排除C,D;B项中y=cos=-sin2x,该函数在上为增函数,不合题意;A项中y=sin=cos2x,该函数符合题意,故选A. 3.下列说法正确的是( )
A.函数y=sin在区间内单调递增 B.函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2π C.点是函数y=cos的图象的一个对称中心 D.直线x=是函数y=tan的图象的一条对称轴 答案:C
解析:令α=2x+,则α∈,此时y=sinα不单调,故A选项错误;y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期为π,故B选项错误;正切函数的图象不是轴对称图形,故排除D;当x=时,cos=0,所以是对称中心,故选C.
4.将函数y=sin x-cos x的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度,所得函数的图象关于y轴对称,则a的最小值是( ) A. 答案:C
B.
C.
D.
解析:∵y=sin x-cos x=2sin,经平移后的函数图象所对应解析式为y=2sin,它关于y轴对称,∴-a-=kπ+,k∈Z.又a>0,由分析可知a的最小值为.故选C.
5.(2013北京高考)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 答案:A 解析:∵φ=π,
∴y=sin(2x+π)=-sin2x,
∴曲线过坐标原点,故充分性成立; ∵y=sin(2x+φ)过原点, ∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z. 故必要性不成立.故选A.
6.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示.若△ABC为锐角三角形,则一定成立的是( )
D.既不充分也不必要条件
A.f(sin A)>f(cos B) B.f(sin A) 解析:因为△ABC为锐角三角形, 所以A+B>,即A>-B. 又A,-B∈, 所以sin A>sin=cos B>0. 由图象知,在(0,+∞)上f'(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 所以f(sin A)>f(cos B).故选A. 二、填空题 7.函数y=的定义域是 . 答案:(k∈Z) 解析:由1-tan x≥0,得tan x≤1, ∴kπ- 8.函数y=cos,x∈的值域是 . 答案: 解析:∵0 又∵y=cos x在[0,π]上是减函数, ∴cosπ≤cos 9.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是 . 答案:(1,3) 解析:f(x)=sin x+2|sin x|= 如图所示,则k的取值范围是1 三、解答题 10.求函数f(x)=1-2sin2x+2cos x的最小值和最大值. 解:∵f(x)=1-2sin2x+2cos x=1-2(1-cos2x)+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2, 又∵x∈R,∴cos x∈[-1,1]. ∴当cos x=-时,f(x)min=-; 当cos x=1时,f(x)max=3. 11.已知函数f(x)=2cos xsin. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)在平面直角坐标系内,用“五点作图法”画出函数f(x)在一个周期内的图象. 解:(1)∵f(x)=2cos xsin =2cos x =sin xcos x+cos2x- =sin2x+(1+cos2x)- =sin2x+cos2x=sin, ∴f(x)的最小正周期为π. (2)设t=2x+,列表如下: t x 0 - 1 π 0 -1 2π 0 f(x) 0 则f(x)在一个周期内的图象如图所示. 12.是否存在实数a,使得函数y=sinx+acos x+a-在闭区间上的最大值是1?若存在,求出对应的a值;若不存在,请说明理由. 2 解:y=1-cos2x+acos x+a-=-a-.∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1. ①若>1,即a>2,则当cos x=1时, ymax=a+a-=1?a=<2(舍去); ②若0≤≤1,即0≤a≤2, 则当cos x=时,ymax=a-=1. 故a=或a=-4<0(舍去); ③若<0,即a<0,则当cos x=0时, ymax=a-=1?a=>0(舍去). 综上可知存在a=符合题意.