习题十七
17—1 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少?
[解] 飞船静止长度l0为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有：
lvl?l01?()2?0
c2解得：
v3 ?c23c?0.866c 2
即：v?
17—2 宇宙射线与大气相互作用时能产生?介子衰变，此衰变在大气上层放出?粒子，已知?粒子的速率为v＝0.998c，在实验室测得静止?粒子的平均寿命为2.2?10?6s，试问在8000m高空产生的?粒子能否飞到地面?
[解] 地面上观测到的?子平均寿命与固有寿命之间的关系
t?t0?v?1??? ?c??v?1????0.998c?2.2?10?6?c?22?子运行距离l?vt?vt0?子能飞到地面。
1?0.9982?1042m
17—3 在S系中观测到两个事件同时发生在x轴上，其间距离为1m，在S，系中观测这两个事件之间的距离是2m。求在S，中测得的这两个事件发生的时间间隔。 [解] 在S系中两事件时间间隔?t?0,由Lorentz变换
x??x?ut1?(u/c)2ux2c t??21?(u/c)t??x?u?t?x???x???221?(u/c)1?(u/c)??得：? uu?t?2?x?x2?cc????t??21?(u/c)1?(u/c)2??将?x??2m,?x?1m代入上两式，得
17-1
u?3c,2?t???5.77?10?9s
17—4 远方一颗星体以0.80c的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 [解] 所求的为固有周期T0：
17—5 假设一飞船的速率可达u＝0.5c，它沿着广州和北京的连线飞行，已知广州到北京的直线距离为1.89?103km，问飞船中的乘客观测到广州到北京的直线距离是多少? [解] 已知固有长度l0?1.89?103km
T0?T1?(v/c)2?51?0.802?3（昼夜）
l?l0?v?1????1.89?103?1?0.52?1.6368?103km ?c?2
17—6 1966～1972年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运行的?粒子的平均寿命，在?粒子的速率为0.9965c时，测得的平均寿命是
26.15?10?6s。?粒子固有寿命的实验值是2.197?10?6s。问实验结果与相对论理论值符合
的程度如何?
[解] ?粒子固有寿命理论值
?v?t0?t1????2.615?10?6?1?0.99652?2.186?10?6s
?c?与实验值比较，相对误差0.5%，两者符合得极好。 或t?2t0?v?1????c?2?2.197?10?61?0.99652?
与实验值2.615?10?6比较。
17—7 在惯性系S中的同一地点发生A、B两个事件，B晚于A 4s，在另一惯性系中S′中观测到B晚于A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在S′系这两个事件发生的地点间的距离是多少?
[解]（1）由题意知，固有时?0?4s，根据时间膨胀公式，
???01?(u/c)2
2有：1?(u/c)??0/??4/5
由此得
u33?, 即u?c c5517-2
（2）应用Lorentz变换式，得： x??x?ut1?(u/c)2
??x???x?u?t1?(u/c)2??u?t1?(u/c)2
3?4c5 ????3c 45因而S'系中这两个事件发生地点间相距3c 。
17—8 有一宇航员乘速率为1000kms的火箭由地球前往火星，宇航员测得他经40h到达火星，求地面上观测者测得的时间与宇航员测得的时间差。 [解] 宇航员测得的是固有时间t0，地面测得的时间
t?t0?v?1????c?2?40.00022小时 t0?40小时
所以t?t0?2.2?10?4小时
17—9 (1)火箭A以0.8c的速率相对于地球向东飞行，火箭 B以0.6c的速率相对地球向西飞行，求火箭B测得火箭A的速率的大小和方向。
(2)如果火箭A向正北飞行，火箭B仍然向西飞行，则由火箭B测得火箭A的速率大小中方向又如何?
[解] （1）选地球为S系，火箭B为S’系，并设正东为X轴正向，则对A有：
u??0.6c,vx?0.8c,vy?vx?0
由速度变换公式，得：
v?u0.8c?0.6c?vx?x??0.946c
u0.8c?0.6c1?2vx1?cc2方向为正东。
（2）坐标系仍如（1）问，
u??0.6c,vx?vz?0,vy?0.8c
由速度变换公式，有
v?u?vx?x?0.6c
u1?2vxc17-3
vy?vy1?(u/c)2??0.64c
u1?2vxc?vz?0
'2v??vx?v'y2?vz'2?0.877c
有正东方向夹角为：
'vx0.6c?1??cos?cos?46.83? 'v0.877c
17—10 一空间飞船以0.5c的速率从地球发射，在飞行中飞船又向前方相对自己以0.5c的速率发射一火箭，问地球上的观测者测得火箭的速率是多少?
?1[解] 地面取为s系，飞船取为s′系，则v?0.5c，u?x?0.5c。对地面观测者而言火箭速率
ux?
u?0.5c?0.5cx?v??0.8c
u?v0.5c?0.5c1?x21?c2c17—11 半人马星座的口星距地球为4.3?1016m，设有一飞船以0.999c的速率往返于。
星与地球之间。由地球上观测，飞船往返一次需多少时间?若在飞船上观测，往返一次需多少时间?
[解]取地球为S系，飞船为S’系，地球上观测飞船往返一次需时：
2?t?2?x/u?2?4.3?1016/0.999c?2.87?10S 由Lorentz变换，飞船上观测，往返一次需时：
8
u?x2c2?t??2??1.28?107s 1?(u/c)2?t?本题第二问也可用尺缩效应来求，飞船上看来，距离为
?x??1?(u/c)2?x，时间为 2?t??2?x?/u
还可以用钟慢效应来求，飞船上人观测往返一次这两件事发生在同一地点，故飞船测得的为固有时，因而：
2?t??2?t1?(u/c)2?1.28?107s
17—12 地球上的观测者发现，一只以速率0.60c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.80c速率向西飞行的慧星相撞。 (1)飞船中的人将观测到慧星以多大的速率向他们接近?(2)按照飞船上的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞?
[解] 地球取为s系，飞船取为s′系，由已知条件，当取x轴向东时，v?0.6c，ux??0.80c，
17-4
?t?5s。飞船上人观测彗星速率
ux?v?0.80c?0.60c???0.946c uxv1?0.80?0.601?2c负号表示彗星向西飞行。时间间隔?t在飞船中观测应为?t? u?x?v?x2c?t??式中?x为相撞浅s中彗星飞行距离。?x?ux?t 2?v?1????c??t?uxvv?x1?c2?c2??t?9.25s 所以?t??22?v??v?1???1????c??c??t?
17—13 设一火箭的静止质量为100t，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了
多少? ’
[解] v?11.2kms?1.12?104ms
m?m0?v?1????c?2?1?1.12?1??5??3?10?2?1.0000000009m
?m?m?m0?9?10?10m0?9?10?2g
17—14 要使电子的速率从1.2?108ms增加到2.4?108ms必须做多少功? [解] 由动能定理，外力所作的功为：
A??mc2?m0c2(代入数据，得：
11?(v2/c)2?11?(v1/c)2)
A?8.199?10?14(1.667?1.091)?4.72?10?14J
17—15 某粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少?
[解] 动能为Ek?mc2?m0c2 由已知条件
Ek?m0c2，故 1/1?(v/c)2?2
17-5