圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝
abab221（a?b?0）。方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，
C同号，A≠B）。
x2y2如（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：
3?k2?k11(?3,?)?(?,2)）；
22（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是
___（答：5,2）
x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1
abab22（a?0,b?0）。方程Ax?By?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，
B异号）。
如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点
P(4,?10)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6）
22（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口
22向上时x?2py(p?0)，开口向下时x??2py(p?0)。
如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
5 4223.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
x2y2如已知方程则m的取值范围是__（答：??1表示焦点在y轴上的椭圆，
m?12?m
1
3(??,?1)?(1,)）
2（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。
4.圆锥曲线的几何性质：
22222222x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；
ab②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），
c四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b； ⑤离心率：e?，椭圆
a?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
25x2y210如（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）； ??1的离心率e?35m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
x2y2??1（a?0,b?0）（2）双曲线（以为例）：①范围：x??a或x?a,y?R；a2b2②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
c称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，
ab等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。
a13如 （1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______（答：213或）；
3122（2）双曲线ax?by?1的离心率为5，则a:b= （答：4或）；
4x2y2 （3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角
ab（锐角或直角）θ的取值范围是________（答：[??,]）；
322
x2y2（4） 已知F1、F2为双曲线??1的左焦点,顶点为A1、A2, P是双曲线上任意
20102009一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能
（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点
p(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有2pc对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物
2a线?e?1。
如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆
ab2222x0y0x0y0外?2?2?1；（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆
abab22x0y0内?2?2?1
ab6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
22
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-
15,-1)）； 3x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆
5m（答：[1，5）∪（5，+∞））；
x2y2??1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则（3）过双曲线12这样的直线有_____条（答：3）；
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；
（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直
3
线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果
x2y2直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1
ab外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且
不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y2?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：
x2y22）； （2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为
916?445???______（答：??,?； ?）
33????y22（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则
2满足条件的直线l有____条（答：3）；
（4）对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；
（5）过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
2211； ??_______（答：1）
pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右（6）设双曲线
169支和右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于
或等于) （答：等于）；
813）； 1322（8）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；
（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：??8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：
S?b2tan
?2?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线
4
S?b2tan?2。 如 （1）短轴长为5，离心率e?2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作3直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为________（答：6）；
（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若； PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2?y2?4）
x2y2→→??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1 <0时，943535点P的横坐标的取值范围是 （答：(?； ,)）
556（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线
2与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________（答：82）；
（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
?F1PF2?60，S?PF1F2?x2y2； ?123．求该双曲线的标准方程（答：??1）
4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C
点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝
1?121?ky1?y2。x?ky?b，若弦AB所在直线方程设为，则＝y?yAB122k2如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）； （3）已知抛物线y?2px(p?0)的焦点恰为双曲线12x?4y?3的右焦点，且倾斜角为
2223?的直线交抛物线于P，Q两点，则|y1?y2|的值为（ ） 4A. 2
B. 4
C. 42
D. 8
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
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