寒假作业(七) 三角函数的概念、图象与性质(注意速度和准度)
一、“12＋4”提速练
5π5π??1．若点?sin ，cos ?在角α的终边上，则sin α的值为( ) 66??A.31
B． 22
13C．－D．－ 22
5π5π??13??解析：选D ∵?sin ，cos ?＝?，－?，
66??2?2?
－∴sin α＝
32
3. 2
3??1?2＋?
?2??－?2???2?
＝－
2．函数y＝4sin xcos x－1的最小正周期T和最大值M分别为( ) A．π，1 B．2π，1 C．π，2 D．2π，2
2π
解析：选A 由题意知，函数y＝4sin xcos x－1＝2sin 2x－1，故其最小正周期T＝
2＝π，最大值M＝2－1＝1.
4
3．(2017·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝( )
533A．－ B.
5544C．－ D.
55
32解析：选A 因为α为锐角，所以cos α＝1－sinα＝，所以cos(π＋α)＝－cos
53α＝－.
5
4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) π?π???A．y＝cos?2x＋?B．y＝sin?2x＋? 2?2???C．y＝sin 2x＋cos 2xD．y＝sin x＋cos x
π?2π?解析：选A y＝cos?2x＋?＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图
2?2?象关于原点对称，故A正确；
y＝sin?2x＋?＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B
2
??
π??
不正确；C、D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C、D不正确．
?π1?5．(2018届高三·湖南师大附中摸底考试)函数y＝sin?－x?，x∈[－2π，2π]的?32?
单调递增区间是( )
π??π5π??A.?－，?B.?－2π，－?
3??3??3C.?
?5π，2π?D.?－2π，－π?和?5π，2π? ?????3??3?3???
π1π3π?π－1x?＝－sin?1x－π?，
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，???3?2232?32??2
解析：选D 函数y＝sin?
k∈Z，
5π11π
得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
33
π1?5π11π???－x4kπ＋，4kπ＋故函数y＝sin??的单调递增区间为??，k∈Z.
33??32??又x∈[－2π，2π]，
π??π1??故函数y＝sin?－x?，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是?－2π，－?和
3??32??
?5π，2π?.
?3???
π??6．函数y＝sin?ωx＋?在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )
6??A.C.ππ
B. 23ππD. 46
πππ
解析：选D 由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω＞
626π
0，∴当k＝0时，ωmin＝. 6
π
7．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)
6在?
?π，π?上是减函数”的是( )
??63?
π??x5π??A．y＝sin?＋?B．y＝sin?2x－? 3??212??
2π?π???C．y＝cos?2x＋?D．y＝sin?2x＋? 3?6???
π?x5π?解析：选D 易知函数y＝sin?＋?的最小正周期为4π，故排除A；当x＝时，y6?212?π?2π???ππ?2x＋2π∈?π，4π?，?＝sin?2x－?＝0，故排除B；当x∈?，?时，函数y＝cos?2x＋???3?3?3?3???63??4π?π???在x∈?π，?上单调递增，故排除C；对于函数y＝sin?2x＋?，可知其最小正周期T＝
3?6???2ππ?ππ?＝π，将x＝代入得，y＝sin?2×＋?＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直
66?26?πππ3ππ2π
线x＝对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得＋kπ≤x≤＋626263
kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin?2x＋?在?，?上是减函数，故选D.
663
??
π??π??
π??
8．若函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－π
β|的最小值为，则函数f(x)的解析式为( )
2
?π??π?A．f(x)＝2sin?x＋?B．f(x)＝2sin?x－?
3?3????π??π?C．f(x)＝2sin?x＋?D．f(x)＝2sin?x－? 6?6???
π??解析：选A f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2sin?ωx＋?.因为f(α)＝－2，f(β)＝
3??πTπ2π
0，且|α－β|min＝，所以＝，得T＝2π(T为函数f(x)的最小正周期)，故ω＝＝242T?π?1，所以f(x)＝2sin?x＋?.
3??
π??9．(2018届高三·西安八校联考)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜?的图象向左平
2??π?π?移个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在?0，?上的最小值为( )
2?6?
A.31
B． 22
13C．－D．－ 22
??π?解析：选D 依题意得，函数y＝sin?2?x＋?＋φ
6????＝sin?2x＋π＋φ?是奇函数，则
???3???
π?πππ?π??sin?＋φ?＝0，又|φ|＜，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sin?2x－?.当x3?233?3??
π??π?π2π?3??π??∈?0，?时，2x－∈?－，?，所以f(x)＝sin?2x－?∈?－，1?，所以f(x)＝
2?3?3??23?3???π??π?3?sin?2x－?在?0，?上的最小值为－. 3??2?2?
π??10．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|≤?的部分图象如图所示，A，B两
2??点之间的距离为10，且f(2)＝0，若将函数f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 由题图可设A(x1,3)，B(x2，－3)， 所以|AB|＝
x1－x2
2
＋6＝10，
2
解得|x1－x2|＝8， 所以T＝2|x1－x2|＝16， 故
2ππ
＝16，解得ω＝. ω8
?π?所以f(x)＝3sin?x＋φ?，
?8??π?由f(2)＝0得3sin?＋φ?＝0， ?4?
πππ
又－≤φ≤，所以φ＝－.
224π??π
故f(x)＝3sin?x－?，
4??8
将f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝f(x－t)＝3sin?
＝3sin?
?π
?8
π
x－t－??
4?
?πx－?πt＋π??. ?8
4?????8?
由题意得，函数g(x)的图象关于y轴对称，
πππ
所以t＋＝kπ＋(k∈Z)，解得t＝8k＋2(k∈Z)，
842
故正数t的最小值为2，选B.
π?1??π?11．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜?满足f(x)＝－f?x＋?，f(0)＝，2?2?2??
?π?则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间?0，?上的最大值为( )
2??
A．4 B.3 C．1 D．－2
11
解析：选B ∵f(0)＝，∴sin φ＝.
22ππ
又|φ|＜，∴φ＝.
26
?π?∵f(x)＝－f?x＋?，
2???π??π?∴f?x－?＝f?x＋?，
2?2???
∴f(x)＝f(x＋π)，
∴f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2. π??∴g(x)＝2cos?2x＋?，
6??
π?π7π??π?∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，
2?6?6?6?ππ
∴当2x＋＝时，g(x)取得最大值，
66
g(x)max＝2cos ＝3.故选B.
12.(2017·湖南五市十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π???nπ?φ)?ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图所示，则? f??＝( ) 2???6?n＝1
2 018
π6
A．－1 B．0 3
C. D．1 2
T5ππππ
解析：选C 由题图知，＝－＝，∴T＝π，ω＝2，由五点法作图可知2×＋
412646
π?ππ1?4π???π??2π?1?3π?φ＝，得φ＝，即f(x)＝sin?2x＋?.故f??＝1，f??＝，f??＝－，f??6?262?6???6??6?2?6?11?1?6π?113?5π??nπ??11
＝－1，f??＝－，f??＝，…，故?f??＝336×?1＋－－1－＋?＋1＋＝.
6?22?2?6?222?6??22n＝1?
2 018