第1讲 函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0
时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
1
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3)
解析 (1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 31
当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥2－3.
xx
3?1－2x?1131
0，?上单调递增，在区间?，1?上设g(x)＝2－3，则g′(x)＝，所以g(x)在区间?4?2??2?xxx单调递减，
1?
因此g(x)max＝g??2?＝4，从而a≥4； 当x<0即x∈[－1,0)时，
31f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤2－3，
xx
31
设g(x)＝2－3，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
xx因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数． 又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以x<0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x>0时，F(x)也是增函数． 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．
所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．
(1)若2x＋5y≤2y＋5x，则有( )
－
－
A．x＋y≥0 C．x－y≤0
B．x＋y≤0 D．x－y≥0
2
1
(2)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
23
A．m≥
23
C．m≤
2答案 (1)B (2)A
解析 (1)把不等式变形为2x－5x≤2y－5y，构造函数y＝2x－5x，其为R上的增函数，所
－
－
－
3B．m>
23D．m< 2
以有x≤－y.
1
(2)因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验
227
知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒
2成立，即f(x)≥－9恒成立，
273
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
22热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
111
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋?＋，若对任意的n∈N*，
S2nSn＋1Sn＋2不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值． 解 (1)因为a1＝2，a2(a4＋1)， 3＝a2·又因为{an}是正项等差数列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n. (2)因为Sn＝n(n＋1)， 111
bn＝＋＋?＋ S2nSn＋1Sn＋2＝＝＝
111＋＋?＋ ?n＋1??n＋2??n＋2??n＋3?2n?2n＋1?111111
－＋－＋?＋－
2n2n＋1n＋1n＋2n＋2n＋3
11n1
－＝2＝，
1n＋12n＋12n＋3n＋1
2n＋＋3
n
1
令f(x)＝2x＋(x≥1)，
x
3
1
则f′(x)＝2－2，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
x所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3， 1
即当n＝1时，(bn)max＝，
6
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立， 1
则须使k≥(bn)max＝，
61
所以实数k的最小值为.
6
思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．
(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则
a6的值是________．
1
(2)已知函数f(x)＝()x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为( )
3A．－1 2C. 3
答案 (1)4 (2)D
解析 (1)因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4. 1
(2)由题设，得a1＝f(1)－c＝－c；
32
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－；
9a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－又数列{an}是等比数列，
212
∴(－)2＝(－c)×(－)，∴c＝1.
9327a31又∵公比q＝＝，
a23
21－1
∴an＝－()n1＝－2()n，n∈N*.
333且数列 {an}是递增数列， 2
∴n＝1时，an有最小值a1＝－.
3
4
B．1 2D．－
3
2. 27
热点三 函数与方程思想在几何中的应用
x2y22
例3 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与
ab2椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为
10
时，求k的值． 3
a＝2，??c2
解 (1)由题意得?＝，a2??a＝b＋c，
2
2
2
解得b＝2.
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
42
y＝k?x－1?，??22
(2)由?xy得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
??4＋2＝1设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 2k2－44k2
则x1＋x2＝，xx＝.
1＋2k2121＋2k2所以|MN|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2 ＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] 2?1＋k2??4＋6k2?＝.
1＋2k2又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离 d＝
|k|
， 1＋k2
所以△AMN的面积为 |k|4＋6k21
S＝|MN|·d＝. 21＋2k2|k|4＋6k210由＝，解得k＝±1.
31＋2k2所以，k的值为1或－1.
思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
y2
(1)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b 2 5