《高等代数》05-06年度第一学期期中试题
一、单项选择题
1．对任意n阶方阵A、B总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T=ATBT D. (AB)2=A2B2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]
?000??110??110??100?????????A. ?010? B. ?220? C. ?011? D. ?111?
?001??121??001??101?????????3. 设A是3阶方阵，且|A| = ?2，则| A-1 |等于[ ]. A. ?2
B. ?1 2C.
1 2
D. 2
4. 设A是m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A的行向量线性无关 B. A的行向量线性相关 C. A的列向量线性无关 D. A的列向量线性相关 5．设有m维向量组(I):?1,?2,...,?n，则[ ]. A. 当m < n时，(I)一定线性相关 C. 当m < n时，(I)一定线性无关
B. 当m > n时，(I)一定线性相关 D. 当m > n时，(I)一定线性无关
6．已知?1、?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1、?2是其导出组Ax?0的一个基础解系，k1、k2为任意常数，则方程组Ax?b的通解可表成[ ]. A. k1?1?k2(?1??2)?C. k1?1?k2?2??1??22
B. k1?1?k2(?1??2)?D. k1?1?k2?2??1??22
?1??22?1??227. 向量组(I):?1,?2,...,?n,（n>1） 线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数k1,k2,?,kn，使其线性组合B. 其中任意两个向量线性无关
C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出 D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出
?k?ik?1ni不等于0
1??11??1?的秩为2，则?=[ ]. 8. 设矩阵A??12?23??1???A. 2 B. 1 C. 0
D. ?1
9. 设A是n阶可逆矩阵，adj(A)是A的伴随矩阵（adjoint of A），则[ ]. A. adj(A)?An?1
B. adj(A)?A C. adj(A)?A
n?1D. adj(A)?A
10. 设A，B为n阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ]. A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0
二、填空题
TD. | A | + | B | = 0
11．设m?n矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵A的秩为 。
?x1?2x2?3x3??1?2x2?x3?2无解，则?= 。 12．若线性方程组???x???23?三、判断题
13．( )如果?1,?2,...,?r线性无关，而?r?1不能由?1,?2,...,?r线性表示，那么
?1,?2,...,?r?1线性无关。
14．( )如果?1,?2,...,?r线性相关，那么其中每个向量都可被其余向量线性表示。 15．( )A，B为n阶方阵，k为正整数，则(AB)?AB。
16．( )若C=DP，P为可逆阵，则rank(C) = rank(D)
17．( )若A=PB，P为可逆阵，则A的列向量组与B的列向量组等价。
18．( )若三个向量?1，?2，?3线性相关，且?3不能由?1，?2线性表示，则?1，?2线性相关。
19．( )如果当c1?c2?...?cr?0时c1?1?c2?2?...?cr?r?0，那么?1,?2,...,?r线性无关。
20．( )设矩阵A，B满足AB = I，则由线性方程组Ax = b可求得唯一解 x = Bb
四、计算题
kkk?001???221．设A??020?，矩阵X满足AX?I?A?X，其中I为3阶单位阵，求矩阵X
?101???22．A????24?nA?，求。 ??36??x1?2x2?2x3?0?23．三阶方阵B不是零矩阵，且B的每一列均为齐次线性方程组?2x1?x2??x3?0的解。
?3x?x?x?023?1求?和B。 解：
?12?2??x1?????方程组可写为AX?0，其中系数矩阵A??2?1??，X??x2?。
?31?1??x????3?设B1,B2,B3为B的第1，2，3列，
因为B不是零矩阵，即B1,B2,B3不全为零向量，故齐次线性方程组有非零解，所以A?0，由此解得??1。
B的每一列都是方程组的解，即AB1?0,AB2?0,AB2?0，由此A?B1即AB?0
五、证明题
224．已知矩阵A满足A?A，A?I，其中I为单位阵，证明A?0
B2B2??0，
25．若已知关于x的一元n次方程式anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?0有n+1个不同的根，证明an?an?1?...?a1?a0?0
26．A是m?n矩阵，B是n?p矩阵，rank(B)?n， 证明：当AB?0时，Am?n?0m?n
答案
题号 答案 题号 答案 1 B 11 m 2 D 12 0 3 B 13 R 4 C 14 F 5 A 15 F 6 D 16 R 7 C 17 F 8 B 18 R 9 A 19 F 10 C 20 F 17．反例 ?12??1?1??00? B??,P?,A?PB???????12??23??510?20. 矩阵AB不一定是方阵，所以没有办法保证得到唯一解。
21．解：
由于AX?I?A?X，
所以(A?I)X?A2?I?(A?I)(A?I)。
2??101???因为A?I??010?可逆，
?100????101???所以X?A?I??030?。
?102???
22．解：
?24??2?A???36?????3??(12)??????2????2???2???2???2??????????A2???(12)(12)?(12)(12)?8?????????3??3???3??(12)?8A 33?????????????????An?8n?1A
224．已知矩阵A满足A?A，A?I，其中I为单位阵，证明A?0
证法1（反证法）：
假设A?0，则A可逆， 由A?A得AA22?1?AA?1，
即A?I，这与A?I矛盾！ 故假设不成立，命题得证。
证法2：
由A?A得A(A?I)?0，
因此矩阵(A?I)的每一列都是齐次线性方程组AX?0的解。 由于A?I，所以(A?I)的列中有非零列， 相应地，方程AX?0有非零解，因此A?0。
典型错误证法： 1．错误证法1
2A2?A?(A?I)A?0?(A?I)A?0?A?IA?0?A?I?0或者A?0由A?I?A?I?0?A?I?（错误！！！）0?A?02．错误证法2
A2?A?A2?A?A?A即(A?1)A?0?A?1或者A?0由A?I?A?I?（错误！！！）1?A?03．错误证法
20A2?A?(A?I)A?0?A?I?0或者A?（错误！！！）由A?I知A?I?0
?A?0?A?0
25．证明：
设方程的n个不同的根为x1,x2,...,xn?1，则有
?anx1n?an?1x1n?1?...?a1x1?a0?0?nn?1?anx2?an?1x2?...?a1x2?a0?0 ?????axn?axn?1?...?ax?a?0n?1n?11n?10?nn?1写成矩阵表示形式为：
?x1n?n?x2????xn?n?1x1n?1?1??an????n?1x2?1??an?1??0，
??????????n?1??axn?1?1??0??可以将之看成关于未知量a0,a1,?,an的齐次方程组。
因为x1,x2,...,xn?1各不相同，所以上述齐次方程组系数矩阵的行列式
x1nnx2?nxn?1x1n?1?1n?1x2?1n?1??(xi?xi?1)?0，
???i?1n?1xn?1?1那么方程只有零解，即an?an?1???a0?0。 证毕！