矩阵证明题
简单应用题能力：
1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．
2．试证：设A是n阶矩阵，若A= 0，则(I?A)?1?I?A?A2． 3．已知矩阵 A?3
1(B?I)，且A2?A，试证B是可逆矩阵，并求B?1. 22T4. 设n阶矩阵A满足A?I，AA?I，证明A是对称矩阵.
5． 设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．
6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1. 7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。
8．设A? B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵?
9．设A? B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB?BA? 10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆. 11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0. 12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。 13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆. 14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.
参考答案
1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA． 1．证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB ——得3分 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA ——得5分
2．试证：设A是n阶矩阵，若A= 0，则(I?A)?1?I?A?A2． 2．证 因为 (I?A)(I?A?A2) ——得2分
2233 =I?A?A?A?A?A =I?A= I
3
所以 (I?A)?1?I?A?A2 ——得5分
1(B?I)，且A2?A，试证B是可逆矩阵，并求B?1. 21122223. 证 因为A?(B?I)?(B?2B?I)，且A?A，即
44121(B?2B?I)?(B?I)， ——得3分 423．已知矩阵 A? 得B?I，所以B是可逆矩阵，且B2T2?1?B. ——得5分
4. 设n阶矩阵A满足A?I，AA?I，证明A是对称矩阵.
4. 证 因为
TTT A?AI=AAA?IA=A ——得4分
所以A是对称矩阵. ——得5分
5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵． 5．证 因为 AT?A，BT?B，且
(AB?BA)T?(AB)T?(BA)T ——得2分
所以 AB＋BA是对称矩阵．
?BTAT?ATBT
?BA?AB?AB?BA ——得5分
6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1. 6．证：因为Ak?O ? 所以E?Ak?E? ——得2分 又因为 E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?
即 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E?
所以 (E?A)可逆? 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1 ——得5分 7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。 7．证：因为A为非退化矩阵,并且AB=BA，
所以两边右乘A得：ABA再两边左乘A得：BA?1?1?1?1?B， ——得3分
?A?1B ——得5分
8．设A? B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵? 8．证：因为AT?A? 所以
(BTAB)T?BT(BTA)T?BTATB?BTAB? ——得4分 从而BTAB是对称矩阵 ——得5分
9．设A? B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB?BA? 9．证：充分性? 因为AT?A? BT?B? 且AB?BA? 所以
(AB)T?(BA)T?ATBT?AB? 即AB是对称矩阵? ——得3分 必要性? 因为AT?A? BT?B? 且(AB)T?AB? 所以
AB?(AB)T?BTAT?BA? ——得5分 10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆 10．证：由A2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E， ——得3分 即A(A?3E)?E 2
?1 所以A可逆，且A?(A?3E)——得5分
2
11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0. 12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。 13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆. 14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.
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综合应用题能力：
1．设n阶方阵A?E???T,其中??0是n维列向量,证明：
（1）A?A的充要条件为?T??1； （2）当?T??1时，矩阵A不可逆。 2．设n阶方阵A满足A2?A?2E?0，证明：
(1) 矩阵A可逆； (2) 矩阵A?2E与A?E不同时可逆。 3．如果A?21(B?E)，证明A2=A的充要条件是B2=E。 24．设矩阵A可逆? 证明其伴随阵A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*?
5．设矩阵A、B及A?B都可逆? 证明A?1?B?1也可逆? 并求其逆阵?
6．若方阵A满足A2?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求出A?E的逆矩阵.
参考答案
1．设n阶方阵A?E???T,其中??0是n维列向量,证明：
TT（1）A?A的充要条件为???1； （2）当???1时，矩阵A不可逆。
21．证：（1） A?E????????(?22TTT?)?T， ——得2分
T故A?A的充要条件为???1； ——得4分
?12?1（2） 由（1）得A?A，若A可逆，A(A)?AA，
2则A?E，矛盾。 ——得8分
22．设n阶方阵A满足A?A?2E?0，证明：
(1) 矩阵A可逆； (2) 矩阵A?2E与A?E不同时可逆。 2．证：（1）A(A?E)?2E，A2?1?1(A?E)； ——得4分 2 （2） |A?A?2E|?|A?2E||A?E|?0，|A?2E|与|A?E|至少有一个为零。 ——得8分 3．如果A?1(B?E)，证明A2=A的充要条件是B2=E。 223．证：（必要性）?A?A,A?1(B?E)， 211B2?2B?E2 ?(B?E)?(B?E)?，化简即得：B2=E。 ——得4分
2442 （充分性）?B?E,A?1(B?E) 21B2?2B?E2B?2E2??A ?A?(B?E)?——得8分
444
24．设矩阵A可逆? 证明其伴随阵A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*? 4．证：由A可逆可知：|A|?0,|A?1|?1?0,|A*|?|A|n?1?0，即A?1,A*也可逆。 |A| ——得4分
?AA*?A*A?|A|E,A?1(A?1)*?(A?1)*A?1?|A?1|E ?(A*)?1?A/|A|,(A?1)*?|A?1|EA?A/|A|
所以(A*)?1?(A?1)* ——得8分
5．设矩阵A、B及A?B都可逆? 证明A?1?B?1也可逆? 并求其逆阵? 5．证：因为
A?1(A?B)B?1?B?1?A?1?A?1?B?1? ——得2分
而A?1(A?B)B?1是三个可逆矩阵的乘积? 所以A?1(A?B)B?1可逆? 即A?1?B?1可逆? ——得6分 (A?1?B?1)?1?[A?1(A?B)B?1]?1?B(A?B)?1A? ——得8分
26．若方阵A满足A?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求出A?E的逆矩阵.
226．证：由A?2A?4E?O可得A?A?3A?3E?E，——得2分
即(A?E)(A?3E)?E ——得6分 所以A?E可逆，且(A?E)?1?(A?3E) ——得8分
发展应用题能力：
1．设A为m?n矩阵，证明：存在n?s非零矩阵B，使AB?O的充分必要条件为秩
r(A)?n。
2．试证明： r??AO??r(A)?r(B) ??OB?－
3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n2A. 4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*? 证明? (1)若|A|?0? 则|A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1?
5．设A为m?n矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证： （1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。 6．设A、B为m?n矩阵，则r(A+B)?r(A)+r(B)。
7．如果A是n阶矩阵(n?2),且r(A)?n?1,试证r(A?)?1
参考答案
1．设A为m?n矩阵，证明：存在n?s非零矩阵B，使AB?O的充分必要条件为秩
r(A)?n。
1．证：
充分性：?r(A)?n，?Ax?0存在一个基础解系?j,j?1，2，?s;其中s?n?r(A)，令B?，易知B就是n?s非零矩阵。 ——得5分 （?1，?2，?，?s）必要性：设B?，因B是n?s非零矩阵，故至少有一个?j是非零向量。 （?1，?2，?，?s）?AB?O，则?j,j?1，2，?s都是线性方程组Ax?0的解。 ?Ax?0有非零解，即r(A)?n。 ——得10分
2．试证明： r??AO??r(A)?r(B) ??OB?2．证：设A的列向量组为?1,?2,...,?n，其极大无关组为?i1,?i2,...,?is，即r(A)?s
设B的列向量组为?1,?2,...,?m，其极大无关组为?j1,?j2,...,?jt，即r(B)?t
?，则?i?1,?i?2,...,?is?也是??将?i1,?i2,...,?is扩充为??的列向量?i?1,?i?2,...,?is?A??O??A??O??????的极大无关组；将?j1,?j2,...,?jt扩充为??的列向量??j1,?j2,...,?jt，则?j1,?j2,...,?jt?O??B??也是??的极大无关组；易知?i?1,?i?2,...,?is?O??B?????j1,?j2,...,?jt线性无关。 ——得4分