[课题]二项式定理（一）
教材：人教A版选修2-3第一章第三节
［教学内容解析］
在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备.
二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题，有着综合性强、联系不同知识点的特点。
［教学目标设置］
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： （一）教学目标
1、知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
（二）重、难点分析
重点：用计数原理分析(1?x)4、(a?x)4的展开式，归纳得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律．
［学生学情分析］
本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的，因此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。
［教学策略分析］
为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：
1．教法分析 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果.
2．学法分析 根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行归纳、类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。
［教学过程］
（一）近似估算，引出问题
引题：如何近似计算高次方根，比如 n2
【设计意图】通过用2试探近似估算方法可行性，用 32验证方法的可推广性，用42揭示估算方法的源头问题，引出研究二项式(1?x)n展开项的必要性，也吻合数学史发展的历程。 （二）逐步探究，发现规律
1.探究一：(1?x)4展开式中x项的系数是多少？ 问题一：(1?x)4展开式中x项是怎么形成的？ 问题二:系数是多少？
【设计意图】从特殊的二项式中的指定的某项开始探究，大大降低学习的思维难度，引导学生从多项式乘法法则出发，运用组合思想解决项的形成问题，突破本节课思维难点。
2.探究二：(1?x)4展开式还有哪些项？ 问题一：每一项是怎么产生的? 问题二; 共有多少项？
【设计意图】利用其它项的特征分析，进一步明确组合思路，为后续推广作准备.
3.探究三：(a?x)4展开式又是如何的？
【设计意图】从一个量到两个量都要考虑，这步探究的重点在于项的结构分析。通过几个问题的层层递进，引导学生进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(a?b)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
n4.探究四：推广到一般情况会是怎么样的？
【设计意图】通过仿照(1?x)、(a?x)展开式的探究方法，引发思考，由学生类比得出(a?b)的展开式，从而上升形成一般结论。
44n（三）形成定理，说理证明
0n1n?1kn?kknn二项式定理：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)
证明：(a?b)是n个(a?b)相乘，每个(a?b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可
nbk(k?0,1,?n)的形式，对于每一项an?kbk，它是由k个(a?b)选了b，n－k个(a?b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a?b)中取k个b知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ak的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
nn?k【设计意图】二项式定理的证明采用“说理”的方法，从多项式乘法法则角度对展开过程进行分析，用计数原理概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
（四）熟悉定理，简单应用
1.二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式） ①项数：共有n?1项.
②次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．
各项的次数都等于n．
012knk③二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn(k?0,1,???,n)称为二项式系数.
kn?kk④二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk?1表示.
kn?kk即通项为展开式的第k?1项: Tk?1=Cnab
2.例题应用：
例1. 求(2?x)5的展开式.
变式训练：求(x?2)7的展开式.
【设计意图】熟练公式，考察对(a?b)n）的展开理解，并且进一步明确展开式中各项的规律.
例2. 求(1?2x)7展开式的第4项.
变式1：求(1?2x)7展开式的第6项的二项式系数. 变式2：求(1?2x)7展开式的x5项的系数.
【设计意图】掌握通项，区分二项式系数与系数，培养学生的运算能力.
（五）课堂小结，课后延伸 1.小结：
0n1n?1kn?kknn知识层面：公式：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*) kn?kk 通项：Tk?1=Cnab，k?0,1,2,3,?n
方法层面：1.从特殊到一般的探究方式. 2.从观察到归纳，从猜想到证明的思维模式.
2.作业
巩固型作业：课本31页习题1、2、3、4
思维拓展型作业：试求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数. 3. 拓展知识
观看微视频《二项式定理的那些事》
教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础． 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思
维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．
本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．为突破难点，本课采用有特殊到一般的推导思路，先以(1?x)4为对象进行一个量的变化探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，再以(a?x)4为桥梁，重点分析各单项的构成，为推导(a?b)n的展开式提供了思路，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．
二项式定理课例点评
1．创设历史情境，关注知识背景
二项式定理是多项式乘法的高级“产物”，但对它的研究却源自“开高次方”．执教者借鉴数学发展史料，阐释近似估算n2方法，使研究二项式定理的必要性一目了然，让定理形成的过程自然而然，尤其在“重温、重走”中激发学生的学习内驱力． 2．分散教学难点，揭示数学本质
数学学习是教师引导下的“再创造” ,而“再创造” 的本质是学困之时、疑难之处为学生搭建好合适的“脚手架”．本节课的教学难点是如何把二项式展开从多项式乘法中脱胎出来，自然地与计数原理、排列组合知识建立联系。执教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整体”的探究策略，以研究“(1?x)4中x项的系数为什么是4”为出发点，以语言、图形、文字等3个不同感知为着眼点，启发引导建立“取数模型”，让学生感受“用组合来研究二项式展开”的体验。 3. 突出主体地位，践行教学理念
把课堂还给学生，既是课改的一个主方向，也是新课标的一种原动力．执教者通过放手探究(1?x)4一次项系数，拓宽学生的思维空间；通过合作探讨(a?x)4展开式中项的结构，增强学生的整合能力；通过归纳梳理(a?b)n展开式的特征，，培养学生思维的严谨性．整堂课始终突出学生的主体地位，自觉实践“创新、开放、共享”的教学理念．
4. 挖掘情感价值，彰显数学文化
教学中恰到好处地引用我国古代数学家的近似估算法，增强学生的民族自豪感，提振数学学习的精气神；匠心独运的微视频“二项式定理的那些事”，让学生体会数学文化的多元性，扩大眼界拓宽视野，从而培养学生“善于倾听”、“乐于包容”的思想品格．