专题四: 25．2锐角三角函数 区从化市 学校龙潭中学
李绍明
教材分析
锐角三角函数概念是本章内容的关键和基础，既是本章的重点，也是难点， 锐角三角函数这一内容也是数形结合的典范。联系以前所学的函数意义，通过学生自主学习，理解、接受并掌握四种三角函数的概念。 本节教学，教材要求学生能搞清楚以下几个问题： 1、认识直角三角形的边角相对应的位置关系。
2、直角三角形在锐角的大小确定后，其任意两条边的比值只与锐角的大小 有关，与直角三角形的大小无关。 3、锐角三角函数的定义。
第二个问题的教学一直是这节内容教学的难点，如何使学生理解三角函数的合理性。以前的教学中总是令师生都深感头疼，函数定义的抽象性以及“比值”与“锐角”这两个变量总让学生一头雾水。教师教学时有的直接给出结论，有的干脆避开这一问题，让学生自己看这一部分内容，容易使这一内容的教学形成了“放羊”状态。
通过格点直观计算、体会、理清直角三角形的两边的比值随锐角的变化而有．．唯一的对应变化，所以比值是锐角的函数，从而得到锐角三角函数的概念。探究．．理解锐角三角函数合理性过程,是学生享受数学知识形成过程,享受数学概念背景的过程，也是新课程理念的体现过程。
这节课是一节概念课，教学目标是让学生认识并牢记四个三角函数的概念。通过这节课的学习使学生明确三角函数的概念的背景、作用、规定等问题。
教学过程片断:
引入：以前我们学习了一次函数，正比例函数、反比例函数等,例如y=2x。 回顾函数的定义：
引例：下面图象中， y不是x 的函数的是（ ）。
对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与x对应，，称y是自变量x的函数。这节我们学习另一类对于我们解决生活问题有很大帮助的函数——锐角三角函数。
（一）认识Rt△中锐角与边的相对位置关系。
在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现并用到了直角三角形。
教师讲授内容：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边c，另两条直角边分别为∠A的对边a与邻边 b（如图25．2．1）．
学生练习： 1、如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，①斜边是 ；②∠P的对边是 ，∠P的邻边是 ；
2、Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB
（1）在Rt△ADC中，CD是∠ 的对边，是∠ 的邻边。∠A的邻边是 ，对边是 ，斜边是 。
（2）在Rt△ACB中，斜边是 。AC是∠ 的邻边，AC是∠ 的对边。
(此外如此调整安插，讲、练本节第一个要求学生掌握基本知识、技能：认识并弄懂Rt△中锐角与边的相对位置关系。目的是为了后面大重点内容锐角三角函数概念的教与学做好充分准备的技能贮备，同时也为使学生接下来的探究并理解三角函数的合理性的导学练过程更顺畅、自然、紧凑一点点。)
（二）探究锐角三角函数的合理性、学习四种锐角三角函数的概念 在§25．1中
△ABC∽△A′B′C′
根据相似三角形的性质有
B?C?BC?A?C?AC即
B?C?A?C?? ．（提问学生）
引导学生发现，在Rt△中，不管这个直角三角形大小如何，只要一个锐角的大
小一样（如∠A＝∠A′），那么该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值． 提出新问题
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？ 让学生带问题动手试一试：
观察图(1)、(2)中的Rt△AC1B1、Rt△AC2B2和Rt△AC3B3，并完成下列问题。
1、在图1 中Rt△AC1B1∽Rt△_________∽Rt△________ 所以
B1C1AC1＝_________＝____________=
12
2、在图2 中Rt△AC1B1∽Rt△_________∽Rt△________ 所以
B1C1AC1＝_________＝____________=
用学生熟知的上一节的现实问题特殊情景，提出新问题，解决新问题的过程引入发现新知识，有利于增 强新知识的亲切感，从特殊情形到一般情形的探究学习过程，有利于新知识总结归纳，升华！ （此处通过格点直观具体的呈现，让学生能轻易算出一个具体可看得见的比值，更有利于学生理解对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的，与直角三角形大小如何无关；同时通过两个不同的格点图看到锐角∠A发生的大小变化，这个比值会随∠A的大小改变重新有一个固定值与之对应，但这个固定比值也是与直角三角形大小如何无关的。目的就是为了有利于学生从抽象中跳出来，从而更直观的理解Rt△中各边的比值是锐角∠A的函数。从而认可锐角三角函数的合理性，更愿意接受锐角三角函数概念。教师在学生在动眼、动脑、动手探究练习过程中引出新概念、实现了少讲与巧讲结合，降低三角函数抽象性和理解的难度。）
可见，在Rt△中，∠A对边与邻边的比值的大小只与锐角∠A的大小有关，而与直角三角形大小如何无关。即这个比值变化只随∠A的大小而变化。对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的。
类似地：我们同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的。 因此这几个比值都是锐角A的函数， 分类 锐角∠A四个三角函数概念 正弦 余弦 弦类 sinA＝?A的对边斜边= cacosA＝?A的邻边斜边= cb正切 切类 ?A的对边?A的邻边ab余切 ?A的邻边?A的对边batanA＝= cotA＝= （此处结合图形，给出概念。将教材中的三角函数概念后的一点小内容后置到下一节课再学习。这样可以主攻重点难点，突出三角函数核心概念的学习，更有利于强化重点，突破难点，更易收获概念课的实效，同时表格分类形式给出四个三角概念，有利于学生记忆。）
学生练习：填上适当的三角函数符号。 （1） A=； A=；
5433 A=4535； A=
3344（1） B=； B=；
B=
45； B=
43
（三）、举例应用：
例1（教材例题）求出图25．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．
例2，在Rt△ABC中，已知sinA=，求∠A 的其它三个函数？
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学生练习:（1）P91 2、3 （2）在Rt△ABC中，已知tanA =
43，求∠A 的其它三个函数？
(四)、课外作业：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AB=2a，（如图） （1）求∠A的四个三个函数值； （2）求∠B的四个三个函数值。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB =
23，求∠B的其它三个函数？