标准分 得 分 一 20 二 20 三 20
四 20 五 20 总 分 100 一、给出迭代方程
｛
xi?1?1?yi?1.4xi2yi?1?0.3xi x0?0,y0?0
先编写求解方程的函数文件，然后调用该函数文件求30 000个点上的x,y,最后在所有的（xi,yi）坐标处标记一个点（不要连线）会出图形。这种图形又称为埃农（Henon）引力线图，它将迭代出来的随机点吸引到一起，最后得出貌似连贯的引力线图。
2二、分别利用数值积分法、符号积分法和Simulink仿真求 I=
?101-x2edx。 2π三、已知阿波罗（Apollo）卫星的运动轨迹（x,y）满足下列微分方程：
?(x??)?(x??1) ????x?13x?2y?,3rr12????2x??y?y?1y3r1??yr23,??1/82.45,?1?1??,r1?(x??)2?y2,r2?(x??1)2?y2?(0)?0,y(0)?0,y?(0)??1.04935751x(0)?1.2,x
试在以上初值下进行数值求解，并绘制出阿波罗卫星位置（x,y）的轨迹。
提示：先选择一组状态变量，写出一阶常微分方程组，并定义相应的函数文件，然后求
方程的数值解。
四、实验图4所示是一个跷跷板，两板夹角为120?，左边板长为1.5m，上面的小孩重500N，右边板长为2m，小孩重400N。求当跷跷板平衡时，左边木板与水平方向夹角?的大小。要求先求解析解，然后给出两种解决方案。
提示：这是一个力矩平衡问题，可列方程求解析解。可以考虑的两种方案是用迭代法解方程和分别绘制两个小孩所产生力矩随?变化的曲线，两曲线的交点即是跷跷板平衡时的?。
跷跷板示意图
五、某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t的追加成本和追加收益分别为G(t)?5?t?2t2/3（百万元/年），H(t)?18?t2/3（百万元/年）。试确定该生产线在何时停
产可获最大利润？最大利润是多少？
提示：利用函数R(t)??(H(t)-G(t))dt-20（百万元），由于H（t）-G（t）单调下降，所
0T以H（t）=G（t）时，R（t）取得最大利润。
1．解： 源程序如下： x(1)=0; y(1)=0;
for i=1:30000;
x(i+1)=1+y(i)-1.4*x(i)^2; y(i+1)=0.3*x(i); hold on
plot(x(i),y(i),’*b’) end 埃农（Henon）引力线图如下：
2．解：①数值积分法源程序代码：
X=0:0.001:1;
Y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-X.^2/2)); trapz(X,Y)
运行结果如下：
ans =
0.3413
②符号积分法源程序代码：
x=sym('x');
f=(1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)); I=int(f,0,1); double(I) 运行结果如下：
ans =
0.3413 ③Simulink仿真
3. function dx=appollo(t,x) mu=1/82.45; mustar=1-mu;
r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2); r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2); dx=[x(2)
2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^3 x(4)
-2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];
--------------------------------------------------------------------------------------
x0=[1.2;0;0;-1.04935751];%x0(i)对应与xi的初值 options=odeset('reltol',1e-8); tic
[t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options); toc
plot(y(:,1),y(:,3))
title('Appollo卫星运动轨迹') xlabel('X') ylabel('Y') 运行结果如下：
Elapsed time is 0.137341 seconds. 图如下：
4.解：①方案一：迭代法源程序如下 for alpha=0:0.001:pi/3;
if 750*cos(alpha)-800*cos(pi/3-alpha)>10e-6 continue end break
end alpha
运行结果如下：cos(alpha)
0.4680
alpha =
ans =
②方案二：曲线相交法源程序如下 0.8925
alpha=0:pi/1000:pi/3;
y1=750*cos(alpha);
plot(alpha,y1,'g-',alpha,y2,'r') y2=800*cos(pi/3-alpha);
运行得到的效果图如下：grid on
该图放大后可大致得到alpha和cos(alpha)的值，见下图：
5. 令解：构造函数2/3
可得矩阵t1/3=x,则f(t)=-tf(t)=H(t)-G(t)=13-t-3t3-3t2
=0 ; 求最佳生产时间的源程序如下：P=[-1,-3,0,13]+13
p=[-1,-3,0,13];
x=roots(p); 运行结果如下：t=x.^3
t =
3.6768 +21.4316i 3.6768 -21.4316i 4.6465
再分别将t的三个值带入函数f(t)，比较大小后，得到最大利润与最佳生产时间。求最大利润的程序代码如下：
① t=3.6768 +21.4316i;
x=0:0.01:t;
y=13-x-3*x.^(2/3); 运行结果：trapz(x,y)
② t=3.6768 -21.4316i;
25.2583
ans =
x=0:0.01:t;
y=13-x-3*x.^(2/3); 运行结果： ans =
trapz(x,y)
25.2583 ③ t=4.6465;
x=0:0.01:t; y=13-x-3*x.^(2/3); trapz(x,y)
运行结果： ans =
26.3208
比较以上三组数据，可知最佳生产时间t=4.6465年，可获得的最大利润 26.3208（百万元/年）。