2014年全国高中数学联合竞赛试题（B卷） (一试）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1：若函数f(x)的图像是由依次连接(0,0),(1,1)和(2,3)的折线，则f?1(2)?
2：在如下图所示的正方体ABCD?A'B'C'D'中，二面角A'?BD?C'等于 （用反三角函数表示）
3：对于实数集R的任意子集U，我们在R上定义函数fU(x)???1,x?U,如果A,B是实数
?0,x?U集R的两个子集，则fA(x)?fB(x)?1的充分必要条件是
4：如果三角形?ABC的三个内角A,B,C的余切cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角
B的最大值是
5：实数列?an?满足条件：a1?项公式an? (n?1)
2n?1,a2?2?1,an?1?an?1??2(n?2)，则通2an?an?1x2y26：F1,F2是椭圆2?2?(a?b?0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果?PF1F2的
ab1面积为1，tan?PF1F2?,tan?PF2F1??2,则a?
2
7：将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母K,Q,J,A）相同的概率是
8：设g(x)?x(1?x)是定义在区间?0,1?上的函数，则函数y?xg(x)的图像与x轴所围
成图形的面积是
二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9：（本小题满分16分）设数列?an?的前n项和Sn组成的数列满足：
Sn?Sn?1?Sn?2?6n2?9n?7(n?1)，已知a1?1,a2?5,求数列?an?的通项公式。
310：（本小题满分20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x?10x?11?0的三个根 （1）已知x1,x2,x3都落在区间(?5,5)之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：arctanx1?arctanx2?arctanx3?
?4
x2?y2?1,A(?2,0),B(0,?1)是椭圆?上的两点，11：（本小题满分20分）如下图，椭圆?:4直线l1:x??2,l2:y??1.P(x0,y0)(x0?0,y0?0)是?上的一个动点，l3是过点P且与?相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点 求证：三条直线AD,BE和CP共点。
(二试）
1：（本题满分40分）如图，H是三个半径同为r的圆的共同交点，A,B,C三点则是另外三个交点。
（1）证明：H是三角形ABC的垂心；
（2）证明：三角形ABC的外接圆的半径等于r
2：（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数f(x)?ax?4(a?0)与其反函数f的图像恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围，并证明你的结论。
?1(x)3：（本题满分50分）给定正整数k?2,a,b是非零整数，而且a?b是一个奇数。假定方程 akx?bky?a?b有整数解x,y，其中0?|x?y|?2。证明：|a?b|是某个整数的k次幂。
4：（本题满分50分）设?ABC是一个边长为23的等边三角形，在三角形?ABC的内部和边界上任取11个点
（1）证明：一定存在两个点，他们之间的距离小于或等于1； （2）证明：一定存在两个点，他们之间的距离严格小于1