实数系完备性基本定理的循环证明
摘 要:循环论证了实数系的6个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现
了数学论证之美.
关键词: 实数 完备性 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理
聚点定理 柯西收敛准则 确界原理 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． (区间套定理） 设{[an,bn]}为一曲间套： 1.[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?, 2.lim(bn?an)?0
n??则存在唯一一点??[an,bn],n?1,2,?.
(有限覆盖定理) 设H?{(?,?)}是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，即[a,b]中每一点都含于H中至少一个开区间(?,?)内．则在它们构成[a,b]的一个有限开覆盖．
(聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点?，即在?的任意小邻域内都含有S中无限多个点（?本身可以属于S，也可以不属于S）． (柯西准则) 数列{an}收敛的充要条件是：???0,?N?N，n、m?N , 恒有|am-an|
(确界原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
单调有界定理对其它定理的证明
1．用单调有界定理证明闭区间套定理
证 由区间套定义,{an}为递增有界数列，依单调有界定理,{an} 有极限?,
中必存在有限个开区间，
且有an??n=1,2,? (1)
同理,递减有界数列{bn}也有极限,并按区间套的条件有
limbn?liman=?x??x?? (2)
且 bn??，n=1,2,? (3)
联合(1) (3)即得an???bn式.
最后证明满足的an???bn的?是唯一的,设数??也满足
an????bn ，n=1,2,? 则由an???bn式有
|?- ??| ? bn-an ，n=1,2,?
由区间套的条件得
|?-?? |?lim(bn?an)?0，
x??故有??= ?
2．用单调有界定理证明确界原理
证 我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界.
1.欲求一实数使它是非空数集S的上确界.利用非空有上界的数集S,构造一数列使其极限为我们所要求的实数. 选取性质p:不小于数集S中的任一数的有理数. 将具有性质p的所有有理数排成一个数列{?n} ,并令 {xn}=max{?1,?2,?,?n},
则得单调递增有上界的数列{xn};
2.由单调有界定理得,??limxn,且对任意的自然数n 有?n?xn??;
x??3.?是数集S的上确界.用反证法.若有数x0?S 使x0??,取
??x0??2,由3.
一定存在一个有理数?N ,使???n
任给?>0,若?x?S,都有x??-?,则存在有理数??,使?-?
即x??-??-?.即?是数集S的最小上界.
于是,我们证明了所需结论.
3．用单调有界定理证明有限覆盖定理
证 1.设有理数??(a,b] ,使区间[a,?]能被H中有限个开区间覆盖.把
[a,b]上的这种有理数的全体排成一个数列{?n}.因为存在一个开区间(?,?)?H使??(?,?),在(?,?)?[a,b]内含有无穷多个有理数,所以{?n}是存在的;
2.将数列{?n}单调化,取xn=max{?1,?2,?,?n},则数列{xn}单调递增有上界;
3.由单调有界定理得, ?=limxn, 且?n?xn??，n=1,2,?;
x?? 4.因xn?[a,b], n=1,2, ? ,由3.得??[a,b],故?必在H中的某个开
区间(?1,?1)中.再由3.,一定有?N?{?n} ,使?1
若?=b,则说明[a,b]能被H中有限个开区间覆盖.用反证法.若
? 使得? 4.用单调有界定理证明柯西收敛准则 证 \?\若{an}收敛，设liman?a n??则有对???0，?N?0，当n?N时有︱an?a︱??/2 任取m?n，则有︱am?a︱??/2 从而︱an?am︱?︱am?a︱?︱an?a︱?? 即{an}是Cauchy列 \?\设{an}是Cauchy列 (i) 则对???0，?N1?0，当n1?N1时有︱an?aN︱?? 11 从而aN???an?aN?? 111 取N2?n1，?N2?n2，?︱aN?an︱?? 22 从而aN???an?aN?? 222 ? ? 取Nk?nk?1，?Nk?nk，?︱aN?an︱?? kk 从而aN???an?aN?? kkk即得对?k有ank?1???ank，由?的任意性有ank?1?ank (ii)由Cauchy列的定义，任取??0，则?N，当m,n?N时有 ︱an?am︱?? 取m?N?1则aN?1?1?an?aN?1?1 所以{an}为有界序列 由{an}?{an}有{an}为有界序列 kk 由有界单调收敛定理有{an}收敛，设liman?a0 kk??k (iii)下证liman?a0 n?? 因为对???0，?K，当k?K时有︱an?a0︱??/2 k 由{an}是Cauchy列有 当n?nk时有︱an?an︱??/2 k 所以︱an?a0︱?︱an?an︱+︱an?a0︱?? kk 所以{an}收敛，且liman?a0 n?? 证毕 5.单调有界定理证明聚点定理 证 设S是以有界无限点集 ,则在S中选取一个由可数多个互不相同的点组成 的数列 {an},显然数列{an}是有界的. 下面我们从{an}中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集S的聚点 .分两种情况来讨论. 1)如果在{an}的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因S是有界的且{an}?S,这是可能的). 设 a1 后的最大项是an; 1 an 后的最大项是an且显然an?an; 1221 一般地, an后的最大项记为an? an,(k=1,2,?). 这样,就得 kk?1k到了{an}的 一个单调递减的子数列{an},因为{an}有界,根单调有界定理 k知,{an}收敛. k2)如果1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取an=a1, 1因an不是最大项, 所以必存在另一项an>an(n2>n1).又因为an也不是最 1212大项, 所以又有an>an( n3>n2),?? 这样一直下去,就得到{an}的一 32个单调递增的子列 {an}且有上界 单调有界定理知, {an}收敛。 kk 总之不论{an}属于情形 1）还是情形 2）都可作出{an}的一个单调收 敛的子列. 设liman=a,今证a是S的聚点 .对??>0,存在自然数K,使得时 k??kk>K时， a- ?< an< a+?, k若这时{an}单调递减 , an< a+?( k>K) 且ankk?1k?1? a,ank?1? 即a的?领域内含有S中异于a的点,故a是 的S聚点. 单调递增时,类似可证 区间套定理对其它定理的证明 S