第四章 伯努利方程和积分型基本
方程的应用
本章主要研究：伯努利方程和积分型基本方程的应用。
思考1
为什么河道较窄的地方流速较大？
思考2
高楼顶层的水压为什么较低？
思考3 自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？
§4.1 伯努利方程
一.理想流体运动微分方程的伯努利积分：
理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。
f?1??p?DV?V??(V??)V Dt?tDvx1?p?f??a????????(1)x?x??xDt?Dvy1?p??ay????????(2) 即： ?fy???yDt??f?1?p?a?Dvz???????(3)z?z??zDt?伯努利积分是理想流体运动微分方程的一个特解，它的具体条件是：
1.恒定流（定常流动）：
特征：?vx?vy?vz???0，?t?t?t?p?p?pdx?dy?dz?dp ?x?y?z?p?0等。 ?t? 1
2.流体是正压流体：
??f(p)
定义压力函数PF（p）： ?dPF?dp?
3.质量力有势：
fx?设：U?U(x,y,z)为质量力的势函数。?U?U?U ,fy?,fz??x?y?z故：fxdx?fydy?fzdz??U?U?Udx?dy?dz?dU ?x?y?z4.沿流线积分（恒定流时流线与迹线重合），有：
dx?vx,dtdy?vy,dtdz?vz dt将理想流体的运动微分方程中的(1)?dx?(2)?dy?(3)?dz,得：
fxdx?fydy?fzdz???1??p?p?p??dx?dy?dz? ????x?y?z??dvydvxdv11222?dx?dy?zdz?vxdvx?vydvy?vzdvz?dvx?vy?vz?dV2 dtdtdt22???1dU??dV2 ??2dp?V2??d??PF?U???0 2??V2积分得： ?PF?U?C
2这就是伯努利积分，它表明：对于正压的理想流体，在有势质量力作用下作定常流动时，同一流线上：
V2?PF?U?C???????(4) 2
二.重力作用下定常不可压缩流动的伯努利方程：
当质量力仅为重力时：fx??U?0,?xfy??U?0,?yfz??U??g ?zU??gz为重力场质量力的势函数。
2
当对于不可压缩流体，ρ=常数。 PF?p?
V2p??gz?C??????(5) 代入（4）式，可得：
2??V2z???H?const.
?2gp这就是重力作用下，理想不可压缩流体定常流动（恒定流）沿流线的伯努利方程。 由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。
三.重力作用下定常不可压缩流动的伯努利方程的物理意义和几何意义：
V2z???H?const.
?2gpp 式中：Z及的物理意义和几何意义参见第二章。?V2：2g1）.物理意义：单位重量流体所具有的动能；
2）.几何意义：流速水头。位置水头(Z)、压强水头（p/?)与流速水头(V2/2g)之和称为总水头（H）。
恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机
械能守恒。
恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。
对于元流的任意两个断面1-1及2-2，理想不可压缩流体恒定元流的伯努利方程可写为：
3
V12p2V22 z1???z2???2g?2gp1水头线如图所示：
图片
四.气体流动的伯努利方程：
1.低速气流：
低速气流可当作不可压缩流体来处理，且一般略去重力项，此时（5）式变为：
?V22这里：?p?p0??????(6)
?V2—动压；2p—静压；
p0—总压、或驻点压力（压强）。
2.等熵气流：
等熵气流有如下关系式：
p?k?Ck?cpcv为绝热指数。
?PF??dp??kp
k?1?V2kp??C??????(7) 代入（4）式，且不考虑重力，可得：
2k?1?这就是等熵气流的伯努利方程。
4
五.流体压缩性的影响：
kp0V?2kp???由（7）式，对于某一流线上的驻点及无穷远处，可得：
k?1?02k?1??由等熵关系，有：
由于音速： c????p?????? ??0?p?0?1kp0?k?1?V??1?p??k2p??2??????kk?1
dppV?k 引入马赫数： Ma??? d??c??p0?k?12???1?Ma??p??2?kk?1
上式按二项式展开成级数，并只保留前三项，为：
2?p0kkkMa?242???1?Ma??Ma??1?Ma??1??? p?2824??2?p0??V?2?Ma????1?1? 或??p?2p??4?即p0?p????V?2?22?Ma???1??? 4??上式为按可压缩流体计算，结果为： p0?p????V?2?22?Ma???1??? 4??若按不可压缩流体（6）式计算，结果为： p0?p??2??V?2Ma???V?22
上面两种算法的绝对误差为： ?p0?24
2?p0Ma??上面两种算法的相对误差为： ?? 2??V?42 显然，对于空气流动，若V∞= 102m/s，相应于Ma∞= 0.3，这时，ε≈ 2.25%。所以，在工程中一般将V≤102m/s（或 Ma∞≤0.3 ）的气流都当作不可压缩流体来处理。这样所带来的误差并不大。
§4.2 定常流管的质量守恒方程
一.定常流管的质量守恒方程：
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