第13章 静电场中的导体和电介质
13.1一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为
E?q4??0r2．
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为
U?q4??0rc．
13.2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布
S r R2 1的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯R1 面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于 D 该面包含的自由l 电荷，即 Φd = q = λl． S 侧面为S，设高斯面的通00上下两底面分别为S1和S2．
εr 过高斯面的电位移通量为 ?d??D?dSS S2 ??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlDS0S1S2，
可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外．
13.3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？ b [解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷o a 如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离r q 图13.3
球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
Uo?q1?q1Q?q??4??0r4??0a4??0b 1
13.4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q =
B A C 3×10-8C，忽略边缘效应．求
（1）B、C板上的电荷为多少？ q （2）A板电势为多少？ [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为
图13.4 q1 = σ1S和q2 = σ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C间的场强为 E2 = σ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ②
即 σ1d1 = σ2d2． ③
解联立方程①和③得
σ1 = qd2/S(d1 + d2)，
所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π，
因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以
UA = ΔU = 452.4(V)．
13.5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一q q1 q2 块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则
P 在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得 B A q1 + q2 = 0． ①
图13.5
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，
它们产生的场强大小分别为
E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．
在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得
E1 - E2 – E = 0，
即 σ1 - σ2 – σ = 0，
或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13.6 两平行金属板带σ1 σ2 σ3 σ4 有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为 1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0． 由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0． 图13.6
由于两板带等量异号的电荷，所以
σ2 = -σ3．
两板之间的场强为
E = σ3/ε0，
而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为
σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，
σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13.7一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距
24??0R2C?R2?R1表示． 很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式
（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是
R2 一个电容器，电容为 o RRR11 C1?4??0?4??0121/R1?1/R2R2 ?R1 外球壳和大外球R3 壳之间也是一个电容器，电容为
C2?4??011/R2?1/R3．
外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为
C?C1?C2?4??0R1R2?4??0R2R2?R1
R2 R1 o εr 24??0R2?R2?R1．
图13.8 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
q4??0R2?q`4??0R1?0，
因此感应电荷为
q`??R1qR2．
根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
E?R1qq`??4??0r24??0R2r2，
负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
R1R1U?R2?E?dl??EdrR2R1
?R2?(?R1q)dr24??0R2r
?R1q(R?R1)q11(?)?224??0R2R1R24??0R2
2q4??0R2C??UR2?R1．
球面间的电容为
13.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？
[解答]球形电容器的电容为
C?4??0RR1?4??0121/R1?1/R2R2?R1．
对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：
C1?2??0R1R2R2?R1．
当电容器中充满介质时，电容为：
C2?2??0?rR1R2R2?R1．
由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
C?C1?C2?2??0(1??r)R1R2R2?R1．
13.9设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电d1 容分别为 ε1 C1 = dε1S/d1和C2 = ε2S/d2． 2 ε2 总电容的倒数为
图13.9 dd?d??d111???1?2?2112CC1C2?1S?2S?1?2S，
总电容为
C??1?2S?2d1??1d2．
13.10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E、电位移D； （3）电容C，它是真空时电容的多少倍？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布
r 的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高R2 S1 R1 斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面 D 的电位移通量为 l ?d??D?dSS0 S ε 高斯面包围的自由电荷为 q = λl，
根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
S2 ??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlDS0S1S2，