《初等几何研究》综合测试题（十四）
适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 等腰三角形的两条边的长为23和52，则这个三角形的周长为___________。 A.43?102；B. 43?52；C. 23?102；D. 43?52或23?102。 2.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分之差为3cm，则腰长为__________。
A.2cm；B.8cm；C.2cm或8cm；D.以上结论都不对。 3.下列四组图形中，是相似形的一组是_________。
A.各有一个角是30°的两个等腰三角形；B.底角为40°的两个等腰三角形；
C.各有一个角是120°的两个等腰三角形；D.邻边之比都等于2的两个平行四边形。 4.三条线段长度分别是3，4，6，则以此三条线段为边___________。
A.能构成锐角三角形；B.能构成钝角三角形；C.能构成直角三角形；D.不能构成三角形。 5.扇形的面积为S，弧长为l，则扇形中心角的度数为________。
180S?90S180l2?90l2?)；B. (2)；C. ()；D. (2)?。 A.(?l?l?S?S6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； C.圆的切线垂直于过切点的半径；
D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 7下列图形中，轴对称图形有__________。
①角 ② 三角形 ③ 圆 ④线段 ⑤正方形 ⑥扇形 ⑦平行四边形 ⑧等腰梯形 A.3个；B.4个；C.5个；D.6个。
8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。 AA.在AC、BC两边高线的交点处； B.在AC、BC两边中线的交点处；
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处； D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。 BC 第8题图二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.等边三角形既是中心对称图形又是轴对称图形。（ ）
2.将一个图形经过平移后再旋转得到另一个图形，则这个图形的大小不变。( ) 3. 用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心可选在任意位置。（ ） 4.两个相似三角形面积比为2：3，则周长比是4：9 。（ ） 5.两个位似图形对应点连线的交点有且只有一个。（ ）
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________ 2.平面上3条直线，最多可分平面为____个部分。 3.如图，DC//OA，则∠BCD可看作是 A将∠________沿________平移得到的
4.如果梯形两底之比为2：5，中位线长14cm，
E那么较大底的长为 _ cm。 BBDCFCDAO第3题图四、计算题（本题8分）
于点F，交AB于D点. （1）求?ADF的度数； （2）若AB=AC，求AC:BC
第1题图已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是?ACB的平分线交AE
A D B F O E C 五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）
1.证明：梯形两对角线中点的连线平行于底边。
2.等边三角形外接圆上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线之和.
3.设E是正方形ABCD中CD边的中点,F是CE的中点则.?DAE?1?BAF.2六、应用题（本题15分）
如图，（1）公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°,点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
N PQA M
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1C；2B；3C；4B；5C；6B；7D；8C.
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1× ；2 √；3√；4×；5√.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1. 360°； 2. 7 ； 3. ∠BOA OB 4. 20 四、计算题（8分）
已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是?ACB的平分线交AE
于点F，交AB于D点. （1）求?ADF的度数； （2）若AB=AC，求AC:BC
B A D F O E C 解： ?AC为圆O的切线,∴?B??EAC
又知,DC是?ACB的平分线,
∴?ACD??DCB ∴?B??DCB??EAC??ACD 即 ?ADF??AFD 又因为BE为圆O的直径, ∴?DAE?90?
∴?ADF?1(180???DAE)?45? 2ACAE? BCAB （2）??B??EAC,?ACB??ACB,∴?ACE∽?ABC∴
又?AB=AC, ∴?B??ACB?30?, ∴在RT⊿ABE中,
ACAE3……9分 ??tan?B?tan30??BCAB3AD五、证明题（27分）
1.证明：梯形两对角线中点的连线平行于底边。
已知：如图在梯形ABCD中，E、F分别是对角 线AC、BD的中点。 求证：EF//BC。
证明:连结DE并延长交BC于G,
则?ADE??CGE.?DE?GE.
BFEGC又DF?BF,故FE是?DBG的中位线.
?FE//BC.
2.等边三角形外接圆上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线之和. 已知：?上任一点.?ABC是等边三角形，P是它外接圆BC
求证：PA?PB?PC.
ABpCD
证明：延长BP至D，使PD?PC. ?CPD??BAC?600,且PD?PC.?
??PCD是等边三角形.于是PC?DC,
且CB?CA,?DCB?600??PCB??PCA. ? ?DCP??PCA,PA?BD?PB?PC.1
3.设E是正方形ABCD中CD边的中点,F是CE的中点则.?DAE??BAF. 2 证：以直线AGH平分?BAF,并设EFDC 此线交BC于G,交直线DC于H.则H
?FAH=?HAB=?AHF.此时需证 G?HAB=?DAE. ?? FAH是等腰三角形,且?ADF为BA 商高三角形(三边之比为3:4:5) 5551故FH=AF=AD?DC.CH?FH?FC?(?)DC?AB. 4444 故?HCG??ABG.从而G是BC的中点.
1故?ABG??ADE??DAE??BAG??BAF.
2
六、探究题（15分） 如图，（1）公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°,点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
NDN
BC
PPQQAAMM
（1） （2） 解：作AB⊥MN, B为垂足。
在Rt⊿ABP中，∠ABP=90°, ∠APB=30°.AP=160, ∴ AB=
1AP=80. 2∵ 点A到直线MN的距离小于100m， ∴ 这所中学会受到噪声的影响。 如图（2），如果以点A为圆心，100m为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C, D,连结AC, AD, 那么AC=AD=100.
根据勾股定理和垂径定理CB?DB?1002?802?60.∴ CD=120. ∴ 学校受噪声影响的时间t?120m1?h?24s.
18000m/h150