数形结合在初中数学教学中的应用案例研究
周矶学校 杨 利
初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。三千多年前，我国古代数学家赵爽最先在《周髀算经》作注时给出“弦图”，他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，赵爽的“弦图”证明可谓别具匠心，体现了“数形结合”的思想。现代初中数学教材中，如平方差公式、完全平方等公式的推导都采用了几何图形验证方式，这是代数问题几何化的代表性问题。“数形结合”，直观性强、形象具体,在平常的学习中更容易被同学们所认可。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有三个方面：一是“以形助数”，二是“以数助形”，三是“数形互化”。本文仅针对如下几个问题进行讨论课堂教学的“数形结合”。
一、以形助数，简化易解
解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，构建出清晰的数学知识体系，促进知识的“消化”。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。
初中数学中，如有理数中数轴的引入、不等式及不等式组的解集在数轴上表示，使抽象的概念、性质得到直观的理解；解二元一次方程组、解不等式时，利用平面直角坐标系，通过转化成一次函数图像图解，问题变得简化易懂；统计部分三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明了；用“树形图”分析事件的概率，可使事件简单而明确。以上均属于“以形助数”代表性内容，是课堂教学中必需性基础内容。学生在画图中整理信息分析信息，用时不多找到解决问题的方法，学生在老师的引领下，领悟到了一种有效解决问题的方法------图解法。
1、有理数教学中， 初识图解法
数轴的引入是有理数体现“数形结合”思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的[4]。
尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透“数形结合”的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
案例1：
在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。
（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。
（2）相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：
（3） 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。
（4） 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。
2、求解不等式（组），运用图解法
教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，这里蕴藏着数形结合的思想方法[4]。在数轴上表示数是“数形结合”思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更直观、更为有效。
案例2：
?2?x?0，?解不等式组?5x?12x?1并把解集在数轴上表示出来．
?1≥，?3?2 解：解不等式①，得x?2
解不等式②，得x≥?1．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 所以，不等式组的解集是?1≤x?2 3、方程组、不等式，巧用“图解法”
“图解法”解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图像，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，利用两条图像线的交点位置，可快捷求出相关不等式的解集。这充分体现了“数形结合”的思想，构建了数与形的和谐美。在解题方面，通过把问题转化成图形的方法，直观得出问题结论，避开了相对复杂的计算。 案例3：
?a1x?b1y?c1?0二元一次方程组?的解有三种情况：
ax?by?c?0?222① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。
一种解法：把交点的横纵坐标代入两直线的解析式求出与a,b的值，再代入不等式求解，这种方法显然很复杂，但也是大部分学生的解法。 另一种解法：由两个一次函数的图象的交点直接得出不等式的解。
这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：
①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。
?2x?y?3?0例：①?，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关
?4x?4y?1?0系如图：平行。
?2x?y?1?0②?，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系
x?2y?0?如图：相交。
?2x?4y?0③?，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系如?x?2y?0图：重合。
y x
y x
y x
（1）
（2） （3）
4、函数应用教学，凸显“图解法”
一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出了透彻分析，从而探求出解决问题的途径。许多应用性问题的分析，如传统的“鸡兔同笼”问题，它的数量关系，比较抽象而隐蔽，解决这类问题有相当难度，但如果有图形辅助便可使隐含问题直观化。函数应用题更需要图解帮助，优化解题。 案例4：
某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满。当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲，如果旅客居住客房，馆需对每间客房每天支出60元的各种费用。
（1） 请写出该宾馆每天的利润y与（元）每间客房涨价x（元）之间的函数
关系式；
（2） 设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润，并指
出此时客房定价应为多少元？
（3） 请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
根据第一步解题分析可知，利润Y关于涨价X是呈二次函数关系；第二步是求利润最值问题，利用最值公式可求出相应结果；第三步求定价范围，按常规思路是建立不等式来解题。但目前学生求解不等式只限于会解一元一次不等式，解一元二次不等式仍是一个数学难题。怎样才能做到有效解题目的呢？
方案是：教学中引导学生把数转化成形，利用五点法画出图像
-8518X -80 50 18X Y 8450 845Y 观察图像可知，这是一条开口向下的抛物线，当涨价了50元时，利润最大值为8450元，因而8000元并非最大利润，顺利解决第二题。如何解决第三个问题呢？有效方法还是要借助图像进行，学生发现抛物线在横轴上半方就表示获得利润大于零，图像所对应X轴上两个界点数据是-80元和+180元，这就得出在原价每间客房出租140元基础上，租金只要大于（140-80）元少于（140+180）元，即客房定价60元以上而320以内的范围内宾馆就可获得利润。
本题教学借助图形，通过“以形助数”方法，将形象思维与抽象思维相结合；借助于“形”的几何直观性来阐明“数”的大小关系，思维有冲击，更好帮助学生理解题意，用学生看图便知道了答案。
用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，这比老师苦口婆心帮助学生分析数量关系更有数学学习价值。体验“数形结合”在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合”的妙处，感知数学思想之睿智。
二、“以数助形”，精化解题方法
数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现“数形结合”。
（一）“以数助形”，在“数与式”教学中的应用
在“数与式”这一部分，经常会遇到一些探索规律题，在教学中图形规律题的探索也是常见一种形式，遇到这一类问题，我们必须学会分析图形位置序号与图形本身一种联系，将几何图形变化情况进行数字化、代数化，这就是“以数解形”。
案例五、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律，拼成若干个图案： （1）第四个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块； （2）第n个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块。
分析：本题是借助于图形中的数量关系来解决问题,第一个图案中有白色地砖6块，第二个图案中有白色地砖10块，第三个图案中有白色地砖14块，根据前面的分析，很快就能判断出第四个图案中有白色地砖18块，并且每个图案比前一个图案增加4个白色地砖，所以第n个图案中有白色地砖4n+2块