200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷8 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 一、 单项选择题( 每小题4分，共28分)
1、下列边界条件是非齐次的为（ ）
A、 u|x?0?ux|x?l?0 B、u|x?0?1,u|x?l?2 C、 ux|x?0?ux|x?l?0 D、 ux|x?0?u|x?l?0
2、uxx?2uxy?2uyy?uy?0 (其中u?u(x,y)) 属于( )型偏微分方程 A、 抛物 B、双曲 C、 椭圆 D、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题
?utt?a2uxx,0?x?l,t?0? ?ux|x?0?0,u|x?l?0
?u|??(x),u|??(x)tt?0?t?0时，得到的特征值问题的特征值为( )
n?2n?),n?1,2,... B、()2,n?0,1,2,... ll(2n?1)?2],n?1,2,... C、[(2n?1)?]2,n?0,1,2,... D、 [2l2lA、(4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法错误的是( )
A、三维波“惠更斯原理”成立 B、二维波存在“有后效现象”
C、对空间一点的扰动，二维波有“前锋”无“阵尾” D、他们均不出现“无后效现象” 5、下列式子错误的是（ ） A、 L[sinwt]=ws2+w2(Res>0)
[f]?L[ g] B、 L[f*g]=L C 、 F[f(x-x0)=]e-iwx0Fw( ) D 、 F[eiw0xf(x)=]Fw(+w0 )6、下列说法错误的是（ ） A、弱极小函数一定是强极小函数
B、弱相等意义下 ?(ax)?1?(x)|a|(a?0)
C 、弱相等意义下?－函数是偶函数 D、Green函数具有对称性
7、设球域B(O,R)内一点M0，则用静电源像法求格林函数时，关于像点M'的说法正确的是（ ）
A、M0,M'的关系满足错误！未找到引用源。，且M'处放置负电荷，带电量为
R OM0B、未找到引用源。，且M'处放置负电荷，带电量为M0,M'的关系满足错误！
R OM0R OM0C、未找到引用源。，且M'处放置正电荷，带电量为M0,M'的关系满足错误！
D、M0,M'的关系满足错误！未找到引用源。，且M'处放置负电荷，带电量为
OM0 R
二、 填空题(每小题4分，共24分)
1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 。 2、方程uxx?4uyy?0化标准型时，所做的两个特征变换为 。 3、L?1[1]? （其中L表示 Laplace变换） (s?2)(s?1)4、Green第二公式为???u?v?____dV????u?S?v?u?vds ?n?n5、在区域?内具有二阶连续偏导数，且满足方程 的函数 u 叫做?内的调和函数。
6、Fourier的微分性质可写为：F[f(n)(x)]? （n?N）
三、（9分---基础）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
?utt?a2uxx,0?x???,t?0? ?u|t?0??(x)，ut|t?0??(x)?u|?0?x?0四、（12分---基础）利用Green公式证明：
??u?0?内Neumann内问题 ???u|??f???n
有解的必要条件为??fdS?0
?五、（14分---难）用分离变量法求解定解问题
??utt?a2uxx,0?x?l,t?0? ?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?3?5??u(x,0)?sinx,ut(x,0)?sinx2l2l?六、（13分---中等）P51 第12（1）
模拟试题8答案
一、BCDDDAB
2tt二、1、适定的 2、 ??y?2x,??y?2x 3、e?e 4、v?u
5、 ?u?0 6、 (i?)F[f(x)]
n三、解：对初始条件?(x),?(x)做奇延拓，延拓后的函数为
x?0x?0??(x)??(x) ?1(x)?? （3分） ?1(x)????(?x)x?0??(?x)x?0??则延拓后的定解问题为
2????x???,t?0?Utt?aUxx, （2分） ???U|t?0??1(x)，Ut|t?0??1(x)由达朗贝尔公式得到延拓后的解为
11x?atU(x,t)?[?1(x?at)??1(x?at)]??1(s)ds （2分） ?x?at22a于是原定解问题的解为
1x?atx?1[?(x?at)??(x?at)]??(s)ds,t???22a?x?atau(x,t)?? （2分）
x?at11x?[?(x?at)??(at?x)]??(s)ds,t??at?x?2aa?2四、
解：设?为Neumann问题的解，则??C2(?)?C1(?) （2分） 又第二格林公式
???u?v?v?udV????u?S?v?u?vds （3分） ?n?n在第二格林公式中取 u??,v?1 （3分） 则有 即
?u????ndS?0 （2分） fdS?0 （2分）
??? 五、解、设解为 u(x,t)?X(x)T(t)， （1分） 代入方程并化简得
T''(t)X''(x)???? （1分） 2aT(t)X(x)于是有
T''(t)??a2T(t)?0 （1分）
X''(x)??X(x)?0由齐次边界条件得固有值问题 ??X''(x)??X(x)?0 （1分）
X(0)?X'(l)?0?（2n?1）?2],n?1,2,...固有函数系为 2l于是得到固有值为?n?[(2n?1?){sinxn}?,1 , 2 . . . （1分）
2l(2n?1)?2]代入关于T(t)的方程得 将?n?[2l（2n?1）?a2]Tn(t)?0n?1,2... （2分） T''n(t)?[ 2l
所以有
cos Tn(t)?An(2n?1?)at?Bn2ln(?2?a1)sint2ln?2 . . . （1分） 1 ,
所以 u(x,t)??(Ancos?(2n?1)?(2n?1)?(2n?1)?at?Bnsinat)sinx （1分） n?12l2l2l代入初始条件有
?????A(2n?1)?3?xnsin?n?12lx?sin2ln?1)?a ??(2???Bsin(2n?1)?x?sin5?xn?12ln2l2l比较系数得
A2?1,An?0(n?2) （1分） Bl3?25?a,Bn?0(n?3) （1分）u(x,t)?cos3?at2lsin3?x2l?2l5?asin5?at2lsin5?x2l 六、
解：令u(x,t)?v(x,t)?w(x,t)
取恰当的w(x,t) 使vx?0vx?l?0 则wx?0??t,wx?l?sin?t ????① 设w(x,t)?A(t)x?B(t)
满足①式的定解条件 得 A(t)?sin?t??tl,B(t)??t ∴w(x,t)?sin?t??tlx??t ，u(x,t)?v(x,t)?sin?t??tlx??t 将原定解条件化为关于v(x,t) 的定解问题
2uttt?vtt??lsin?t
uxx?vxx
???vtt?a2vxx?????0?x?l,t?0?vx?0?0,vx?l?0??t?0 ???vt?0?0,vtt?0?0??0?x?l2分） （1分）
（
由分离变量法得 v?0
sin?t??t??t ∴ u(x,t)?l