2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
参考公式:
如果事件A与B互斥,那么P(A?B)?P(A)?P(B); 标准差:s?1[(x1?x)2?(x2?x)2?n?(xn?x)2,其中x?1(x1?x2?n?xn).
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，则复数
2i在复平面内所对应的点位于 1?i（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
2i??1?i,选B. 1?i（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A）y?cosx （B）y?sinx （C）y?lnx （D）y?x?1 选A.
（3）设p:1?x?2,q:2?1 ，则p是q成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 选A.
4、下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y??2x的是（ ）
x2y2x2y2x2222?1 （B）?y?1 （C）?x?1 （D）y??1 （A）x?44442选.
5、已知m，n是两条不同直线，?，?是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若?，?垂直于同一平面，则?与?平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行
（C）若?，?不平行，则在?内不存在与?平行的直线 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 选D.
6、若样本数据x1，x2，???，x10的标准差为8，则数据2x1?1，2x2?1，???，2x10?1的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32
2222若样本数据x1，x2，???，x10的方差为S,数据2x1?1，2x2?1，???，2x10?1的方差为S0,则S0?4S,
所以所求标准差为16,选C.
7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）1?3 （B）2?3 （C）1?22 （D）22 如图,面ABC?面ABD,AC?BC?AD?BD?是AB的中点,选B.
C
8、???C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足
211正(主)视图1122俯视图211侧(左)视图2,AB?2,EAEDB???2a，?C?2a?b，则下列结论正确的是（ ）
（A）b?1 （B）a?b （C）a?b?1 （D）4a?b??C 因为???C是边长为2的等边三角形,所以
??????C?2a?(2a?b)?4cos60?2,即a?(2a?b)?2a?a?b?1,又
2C2a+bb2a|??|?|2a|?2,所以|a|?1,因此a?b??1 ;
因为BC?AC?AB?b,所以|b|?2,因此
(4a?b)??C?(4a?b)?b?4a?b?b?0,所以选D.
另:可画图,得(A)(B)(C)均错,选D. 9、函数f?x??2Aax?bB?x?c?2的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A）a?0，b?0，c?0 （B）a?0，b?0，c?0 （C）a?0，b?0，c?0 （D）a?0，b?0，c?0 由f?x??ax?b?x?c?2的定义域知?c?0,即c?0;由f(0)?0知
b?0;f??x???ax2?2bx?ac2?2bc?x?c?222,则?ax?2bx?ac?2bc?0有一解为?c,另一解为
22x0?(0?,c );而?ax?2bx?ac?2bc?0的解为x0?x??c,所以?a?0,即a?0;选C.
10、已知函数f?x???sin??x???（?，?，?均为正的常数）的最小正周期为?，当x?函数f?x?取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A）f?2??f??2??f?0? （B）f?0??f?2??f??2? （C）f??2??f?0??f?2? （D）f?2??f?0??f??2? 作图知,选(A)
二、填空题:本大题共5小题。每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置
2?时，3175311.(x?)的展开式中x的系数是 （用数字填写答案） xTr?1?Cx47r73(7?r)π-12-2开始O5π128π122x?x?r?Cxr721?4r,由21?4r?5得r?4 ,所以C?35.
12.在极坐标中，圆??8sin?上的点到直线???3(??R)距a=1,n=1离的最大值是 画图.6
13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 n?4
|a?1.414|?0.005?是1a?1?1?an=n+1否输出n结束14.已知数列{an}是递增的等比数列，a1?a4?9,a2a3?8，则数列{an}的前n项和等于 2因为a2a3?a1a4?8,所以a1,a4是x?9x?8?0的解,又数列{an}是递增的等比数列，所以?
?a1?1
,因此
?a4?8
数列{an}的前n项和等于2n?1 .
15. 设x?ax?b?0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
3(1)a??3,b??3；(2)a??3,b?2；(3)a??3,b?2；(4)a?0,b?2;(5)a?1,b?2.
解:令f(x)?x?ax?b,f?(x)?3x?a,当a?0时,f?(x)?0,则f(x)在R上单调递增函数,此时
32x3?ax?b?0仅有一个实根,所以(4)(5)对;
当a??3时,由f?(x)?3x?3?0得?1?x?1,所以x?1 是f(x)的极小值点,由f(1)?0,得
213?3?1?b?0,即b?2,(3)对.
x??1 是f(x)的极大值点,由f(?1)?0,得(?1)3?3?(?1)?b?0,即b??2,(1)对.
(1)(3)(4)(5)
三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内
16.在?ABC中，?A?3?,AB?6,AC?32,点D在BC边上，AD?BD，求AD的长。 4222解:在?ABC中,BC?AC?AB?2AC?ABcos?A?18?36?2?32?6?(?2)?90,即2BC?310 ;
从而AC?BC?AB?2BC?ABcos?B,cos?B?222310; 10又AD?BD,所以BD?cos?B?310?BD?3 ,所以AD?BD?10. 10(17) (本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值.
解:(1) P(第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品)?(2) X的可能取值为200,300,400
2?33? ; 5?410X?200表示前2次取出的是次品;
X?300表示前2次取出的是1件次品和1件正品,第三次取出的是次品;或前3次取出的都是正品;
X?400表示前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件次品; 前3次取出的是1件次品和
2件正品,第四次取出的是1件正品.
11331222C2C3?A32A3C2C3A2136;. P(X?200)?2?,P(X?300)??P(X?400)??34A510A510A510E(X)?200?136?300??400??350 . 1010102n?2第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品
*(18) (本小题满分12分)设n?N,xn是曲线y?x?1在点(1,2) 处的切线与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式;
22(2)记Tn?x1?x3?2?x2n?1,证明:Tn?1 . 4n解:(1) y??(2n?2)x2n?12n?2?1在点(1,2),当x?1 时,y??2n?2 ,所以曲线y?x 处的切线为
y?2?(2n?2)(x?1);
因此曲线y?x22n?2?1在点(1,2) 处的切线与x轴交点的横坐标xn?n; n?12?x2n?1,则f(n)?0;
(2)由(1)知x2n?12n?12(2n?1)222?()?,令f(n)?4nTn?4nx1?x3?22n4n222??x2f(n?1)4(n?1)x12?x3n?12n?124n2?4n?1n?1?x2n?1因为???()??1 2222f(n)4nx1?x3??x2n?1n2n?24n?4n121*2所以f(n)在n?N单调递增的,因此f(n)?f(1)?4x1?4?()?1,所以f(n)?1,即Tn?.
24n另:可用数学归纳法和放缩求积.
(19) (本小题满分13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F. (1)证明:EF (2)求二面角E?A1D?B1的余弦值. ∥CD,因此()1证明:因为AA1B1B,ABCD均为正方形,所以A1B1 A1EB1FABB1ABA1D1四边形A1B1CD是,所以A1D B1C?面A1DE,A1D?面A1DE,所以B1C<面A1DE,又因为过 B1,C,D1平面交面A1DE于EF,所以EF (2) 取B1C中点M,取A1D中点H,连HM,HD1 ,则HM DCEHMDCNFD1CD?A1D,HD1?A1D,因此A1D?面MHD1,设面MHD1交EF于 N.连HN,则A1D?HN,A1D?HM,所以?MHN为二面角E?A1D?B1的平面角. 由(1)知EF 设四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD的边长为2,在RtMHD116MD1?. 22HN2?MH2?MN2MH6??在MHN中,cos?MHN?. 2HN?MH2HN36所以二面角E?A1D?B1的余弦值为. 3中,MH?2,HD1?2,HN?MN?另:可补形,也可建立坐标系来做. x2y2(20)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为2?2?1(a?b?0),点O 为坐标原点,点A的坐标为(a,0), ab5点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|?2|MA|,直线OM的斜率为. 10(1)求E的离心率e; 7(2)设点C坐标为(0,?b),N为线段AC中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程. 2解:(1)由点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|?2|MA,|知 BM?2MA,即点M分线段BA的比为2,所以点M(254,e?. 55b552ab?,所以,即,);又直线OM的斜率为2a101033a?5b,由a2?b2?c2得e2?(2)因为N为线段AC中点,,所以N(5b?babxy,),而直线AB的方程为??1,即,?)即N(2222abx?5y?5b; 而点N关于直线AB的对称点纵坐标为 ?b?225(5b5b??5b)722?b;又点N关于直线AB的对 66x2y27??1为所求. 称点的纵坐标为,所以b?2,因此, a?5b?25,所以 204221. (本小题满分13分)设函数f(x)?x?ax?b. (1)讨论函数f(sinx)在(?2??,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 222(2)记f0(x)?x?a0x?b0,求函数|f(sinx)?f0(sinx)|在[???,]上的最大值D; 22a2(3)在(2)中.取a0?b0?0,求z?b?满足条件D?1时的最大值. 4解: (1)令t?sinx,x?(???a,),t?(?1,1), f(x)?x2?ax?b开口向上,对称轴为x?; 222