（2）设抽出的3张卡片中有2张卡片上的数字是3的事件为B，则
（3）设其对立事件抽出的3张卡片上有2张的数字相同的事件为C，则
，故所求的概率为
2、相互独立事件和对立事件的模型的概率问题
事件A与事件B相互独立是指事件A的发生不会影响事件B的发生，在计算概率时表现为且
。事件A与事件B对立是指事件A与事件B互斥，
。
为必然事件，在计算概率时表现为
例2 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）。若安检不合格，则必须整改。若整改后经复查仍不合格，则强制关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算：（1）恰好有2家煤矿必须整改的概率；（2）某煤矿不被关闭的概率；（3）至少关闭1家煤矿的概率（结果精确到0.01）。
分析：在处理复杂事件的概率问题时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化为一些彼此互斥的事件的概率的和，这是由互斥事件概念的作用决定的；二是先求对立事件的概率，对立事件的概念为间接法求解问题提供了依据和基础，
解：（1）每家煤矿必须整改的概率是，且每家煤矿是否整改是相互独
立的，所以恰好有2家煤矿必须整改的概率是
（2）某煤矿被关闭，即两次检查都不合格，被关闭的概率是
，从而煤矿不被关闭的概率是0.90。
（3）由（2）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且彼此是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是
3、几何概率模型的概率问题
几何概率模型是指如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。在求几何概率模型的概率问题时，长度、面积或体积的计算是解题的关键。
例3 甲、乙两人约定在6时至7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
分析：这类题有两个难点，一是如何把实际问题转化为数学问题，二是计算表示事件发生的阴影部分的面积。
解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人在6时至7时的一小时内到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是
。在如图所示的平面直线坐标系
下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形。
设“两人能会面”为事件A，则A所有可能结果由图中阴影部分表示，
从以上几种解法可以看出，解决概率问题的步骤可归纳为三步：第一步,确定事件的性质，例如古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为几类事件中的某一种。第二步,判断事件的运算、和事件、积事件,确定事件至少有一个发生还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式。第三步,运用相应的公式计算。
总之，正确的求解概率问题，必须要具备上述的方法步骤，能熟悉和掌握必要的“概率模型”，并会利用分类与讨论、转化与化归等数学思想。
练习与思考题
11：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为2，如果第一次射击未中，
则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
2：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事件的概率
（1）指定的n个房间各有一个人住 （2）恰好有n个房间，其中各住一人
3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2
（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。 （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
4：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结
方式。
第十八课:顺水推舟，克“敌”致胜 ——例谈反证法的应用
反证法定义：中国成语中有一个“矛盾”的故事，有一个人同时贩卖矛与盾，他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧”的，盾呢，是刀枪不入的。于是，有人马上提议他“以子之矛，攻子之盾”来验证一下他的宣传是否可靠，于是这人当场弄得哑口无言。
此人采用“以子之矛，攻子之盾”的方法来反驳贩卖者的说法，收到奇效，这种方法实际上就是数学上所说的反证法。
我们再来看一个例子：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”
这是很著名的“道旁苦李”的故事。实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。
事实：树上结满了李子 已知：树上有李 小朋友问：为什么李苦 求证：李为苦李
王戎：假如李子不苦 证明：假设李不苦 则早被路人摘光 则早被路人摘光 而树上结满李子 与已知树上有李矛盾 所以一定是苦的 所以李为苦李 至此，反证法的思路及步骤就一目了然了。
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
下面，我们来归纳反证法证明问题的一般步骤：
第一步是“假设命题的结论不成立”，亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的；
第二步“从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确。
第三步由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 我们先来看两个短时间简单的例子：