北 京 四 中
撰 稿：张炜卓 审 稿：张 扬 责 编：姚一民 排列组合问题学习指导
在解答排列组合问题时，不少同学感觉困难，分辨不清是排列还是组合问题，或解答时出现遗漏与重复，针对这些，在平时练习中，有意识地对一些典型题目寻求多种解法，或研究错解的原因并给予改正,这样对提高解题能力有一定的帮助。下面举例说明。
例1：7个人站队排成一排，其中甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种排法？
[解法1]从元素考虑：
甲不能站排头，也不能站排尾，先考虑甲的站法，有A种排法，其他6人排在其它6个位置上，有A种排法，根据乘法原理，共有AA=3600种排法。
[解法2]从位置考虑：
因为队首队尾不能排甲，故先从其他6人中选2人站排头排尾，有A种排法，再排中间5个位置，有A种排法，根据乘法原理，共有AA=3600种排法。
[解法3]用元素插空法：
先考虑除甲以外的6人排队方法，有A种排法，因为甲不能站排头，也不能站排尾，所以让甲插空，只有5个空，有A种排法，根据乘法原理，共有AA=3600种排法。
[解法4]用排除法：
先不考虑限制条件，7人排成一排有A种排法，而其中甲站排头，或站排尾有 2A种排法，所以符合条件的排法有A-2A=3600种排法。
这是一个有条件限制的排列问题，有条件限制的排列问题，一般有“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”等说法，解决问题的方法主要有直接法和间接法。请认真体会以上几种不同的解法，并问问自己能用几种方法解题。
例2：某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览，如果A、B为必选城市，并且在旅游过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有多少种不同的游览路线？
解：依题意，分为两步，第一步选城市：
要求选择5个城市，从除A、B两城市外的5个城市选3个城市，有
第二步排次序：
游览5个城市的不同的游览路线有A种路线，这其中对A、B两城市来说，或是先经过A再去B，或是先经过B再去A，游览路线各占一半，所以按先A后B的次序经过A、B两城市
种方法，
的游览路线有
种，根据乘法原理，共有种不同的游览路线。
此题若从条件先A后B的次序经过A、B两城市考虑，会造成思路混乱，数不清。
这是排列组合的综合题目，一般思路是先组合后排列，先组合凑够元素的个数后再排列，以避免元素重复使用
下面例题一是为了介绍正确的思考方法，从而进一步探讨解题规律，二是对一些错误的解法进行分析研究，从而了解产生错误的原因。
例3：从6个男生和4个女生里，选出3个男生和2个女生分别承担A、B、C、D、E等五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法。
解：根据题目条件，必须依次完成“选出3个男生”、“选出2个女生”、“对选出的人再分配”等事件。一共有素重复使用）。
上面这个问题，也有认为答案是工作，所以有一共有
上面这个解法错在哪里呢？
从6个男生里选出3个男生承担3项不同的工作，确实有
种方法。但是，现在选出的3
，认为，从6个男生里选出3个男生承担3项不同的
种方法，因此
种分配工作的方法。（体会先组合凑够元素的个数后再排列，以避免元
种方法，从4个女生里选出2个女生承担2项不同的工作有
种分配工作的方法。
个人，他们将在5种不同的工作里承担3项不同的工作，因为从5种不同的工作里任意选出3种工作有
种选法，把每一种方法选出的三项工作分配给6个男生里的3个就有
种方法，种方法，
所以，从6个男生里选出3个男生承担5项不同的工作里的3种工作，就应该有而不是
种方法，而对这些方法里的每一种，再从4个女生里选出2个女生承担余下的2项工
作就有种答案是
种方法，因此，一共有
，你能解释吗？
种分配工作的方法。这也是正确的解法。同理第三
例4：从4件甲类产品和5件乙类产品（相互不同）里面选出4件，其中至少要有1件甲类产品和2件乙类产品，共有多少种不同的选取方法？
解：正确答案为
上面这个问题有时会被错误地解成有甲类产品和2件乙类产品，而选出1件甲类产品有所以，选出1件甲类产品、2件乙类产品有乙类产品里面任意选出1件有
这个解法错在重复计算。如果用
代表甲类产品，
，
代，在，
=240种选法。认为题目里要求至少要有1件种方法，选出2件乙类产品有
种方法，
.
种方法，然后再在余下的3件甲类产品、3件
=240种选法。
种方法，因此，一共有
表乙类产品。每一种选1件甲类产品、3件乙类产品的选法，比如说选出上面的解法里，先后被计算过3次；（1）先选出再选出
，最后选出
；（3）先选出
，再选出
，最后选出，最后选出
；（2）先选出
，再选出。同理，每一种选2
件甲类产品、2件乙类产品的选法，在上面的解法里，先后被计算过2次。
产生这种重复计算错误的根本原因，还是由于对分步应用乘法原理计算的条件没有弄清楚。而只是形式的把完成“选出4件产品至少要有1件甲类产品、2件乙类产品，”这一事件分解成“选出1件甲类产品”、“选出2件乙类产品”、“任意选出1件产品”三个部分事件。在这样分解下，选出1件甲类产品、2件乙类产品确有再选出另外一件产品并不都有
=240种选法的结论。
排列组合问题的基础是两个基本原理，原理中提到分步和分类，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
种方法，但每选出1件甲类产品、2件乙类产品后，
种方法，因为这些选法是有重叠的。所以，不能得出一共有