2015年西南财经大学数学建模校赛
人体膝关节运动学问题
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姓名 专业年级 学号 电话 邮箱 2015/5/4
人体膝关节运动学问题
摘要：
对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w与峰力矩y的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab软件解得方程为
对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。假设人体质量均匀分布与长度正相关。（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。用LINGO软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45o，小腿与地面夹角为45o，腰部与水平面夹角为80.12o。对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30o，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60o，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90o，所承受的压力是体重的6.44204倍。在一定误差范围下说法是正确的。
对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。（1）沿用问题二中均匀杆模型，建立力矩平衡方程。（2）假设始终单腿承重，重心落在承重腿与地面接触点上。取上（下）一级台阶时间为一周期，完成承重腿由弯曲到直立（直立到弯曲）的动作。根据非承重腿刚离开（接触）地面时与地面和垂线构成直角三角形建立方程。（3）首先研究小腿与垂线角度，列出其与时间的关系式,再找到力与该角度关系,用LINGO解出力最大时的角度,确定当时测试者的姿势。LINGO的结果显示上下楼梯胫股关节接触力最大时姿势相同，在小腿与竖直面的夹角为41.38o膝盖受力最大，力为5505.44N，是体重的7.86倍，平均受力为2752.72N。
对于问题四，定性分析了在举重过程中胫股关节接触力与其产生的对上半身支撑力的关系。建模后并进行两次修正。模型一中沿用问题三中均匀杆模型，根据大小腿在水平方向上分量相同建立联系，又根据虚功原理（膝盖水平方向做功等于支撑力竖直方向做功）列出支撑力G'与胫股关节接触力N关系式：，从中看出大腿与Ntan?G'?1+bsin?1c2?b2cos2?11)地面垂直时即使N很小G'也趋于无限大。模型二修正了模型一中N为恒力的假设，得
b(N?N)sin?112出cG'?bsin?11?c2?b2cos2?1，可见G'有一极限值，同时G'不仅与大小腿拉力有关还与大腿弯
曲角度成正弦而非正切关系。模型三保持踝关节位置不变，修正了模型二中关于膝盖位移沿水平方向的假设，修正后结果G'?sin?1(N1cos?1?N2cos?2)sin?2。
sin(?1??2)关键词： 回归模型 人体均匀杆模型 优化问题 胫股关节 受力分析
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1. 问题重述
1、膝关节力量的测试分析
采用CON-TREX 等速测力系统采集实验数据：选择膝屈/伸两个实验项目，进行四种方案测试：静止130°用力、运动60o/s、180o/s、300o/s，分别进行5次。测试者上身进行固定，要求双手握住两侧扶手，测试时必须用尽全力。
测试数据见文件：data1：数据项包括：测试者编号、性别（1男2女）、年龄、身高、体重、左/右腿（1左2右）、屈/伸（1伸2屈）、静止130o峰力矩、60o/s峰力矩、60o/s峰力矩角度、180o/s峰力矩、180o/s峰力矩角度、300o/s峰力矩、300o/s峰力矩角度。
试分析测试数据有那些特征，即：峰力矩的值与那些因素有关，以及关系的强弱。 2、膝关节承重分析
体重负荷下，胫股关节接触力随屈膝角度增大而增加。有资料显示，人体屈膝30o，膝关节承受压力和体重相等，屈膝60o，膝关节压力为体重的4倍，屈膝90o，所承受的压力是体重的6倍。
试建立数学模型，分析在体重负荷、静止、双脚支撑状况下，胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系，确定最大胫股关节接触力及对应的屈膝角度、小腿等的倾斜度。并说明上段说法是否正确（可在一定误差下）。 3、台阶运动对膝关节的影响
爬楼梯属于负重运动，上下台阶时下肢各关节的运动幅度、关节负荷以及肌肉活动等均与在平地上静止、行走有差异，膝关节起主要承重和缓冲作用。
有资料显示，正常人在爬楼梯时膝关节承受的压力会在瞬间增加3倍。即，一位体重为70公斤的人在爬楼梯时其两侧膝关节所承受的压力则高达280公斤。同时，爬楼梯速度越快，膝关节承受的压力就越大。
考察台阶：长90 cm、宽28 cm、高18 cm，测试者：170cm、70kg，速度：96 步/分。试建立数学模型，分析上下台阶时，胫股关节接触力与上下楼梯时腿部动作、速度等的关系。分析上下楼梯是否有差异、上下楼梯最大膝关节压力各是多少、平均膝关节压力各是多少。并说明上段说法是否正确。 4、运动对膝关节的影响
若时间容许的话，请选取步行（例如快步走）、武术（例如太极拳）、球类（例如篮球）、田径（例如跳远）等一个或多个运动项目，对运动对膝关节的影响进行进一步讨论。
2. 问题分析
2.1问题1
分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。这可以看成是多元回归模型。我们先用插值法处理了数据中的异常数据，求出每个变量相对于峰力矩的相关性。发现年龄，身高，左右腿，峰力矩角度与峰力矩相关性不强，将其从回归中剔除。同时用Excel散点图发现在不同的角速度下峰力矩的变化趋势几乎一致，说明角速度对峰力矩的影响不受其他因素的干扰，故先分析一种速度下其他因素对峰力矩的影响。最后加入角速度因素并对模型进行优化。 2.2问题2
求出膝关节最大受力的情况。这可以看成是优化模型，并且运用了力学受力原理。可以将人体简化为三段轻杆（小腿，大腿，躯干）和2个节点(膝关节，腰)的受力模型。
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通过受力分析建立方程，用LINGO求解。 2.3问题3
分析膝盖在上楼下楼时所受的压力。可以看成是优化模型，运用力学受力原理，延用问题2 的假设，以一步为周期，建立有关力学模型，用LINGO求解。 2.4问题4
分析人体在举重时胫骨关节的受力和人体产生的支撑力的关系。做定性分析，延用问题2的假设，建立有关力学模型，求出表达式。
3 模型假设
1) 假设统计的数据真实有效，与现实无偏差；
2) 假设实验对象除了给出的变量以外其他情况完全相同；
3）人体在力学研究中简化为大腿，躯干，小腿三部分，股，膝为两处折点； 4）人体在力学研究中质量均匀分布，重心在经过脚的与地面垂直的线上； 5）人体在上下楼运动中完成一个周期后的姿势不变； 6）人体重心在上下阶梯换承力腿时瞬间转移到承力腿上。
4 符号说明
x1,x2,x3,x4,x,5x6,x7：性别，年龄，身高，体重，左右腿，伸屈膝，峰力矩角度
?：运动角速度
y：峰力矩值
a,b,c：分别表示躯干，大腿，小腿的长度
a1：躯干在重心线左边的长度 a2：躯干在重心线右边的长度
?：小腿与地面夹角
?：大腿与水平面的夹角 ?：躯干与水平面夹角
F：膝盖所受到的压力
F1：肌力 F2：重力 l1：肌力的力臂 l2：重力的力臂
N1：大腿对膝关节的拉力
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N2：小腿对膝关节的拉力
d：膝关节的受力宽度
m：人体质量
g：重力加速度
?：上楼运动中年小腿与竖直面夹角
?0：上楼初始状态时小腿与竖直面夹角
?：下楼运动中小腿与竖直面夹角
?t：下楼末状态时小腿与竖直面夹角
h：台阶的高度 k：台阶的宽度
v：人体运动速度
G'：支撑力
m0g：举重时的物重
dx：举重时膝关节水平方向上的位移
dy：举重时主动力G'的虚位移
dr：举重时主动力N1,N2的虚位移
N：经股关节所受的横向力恒力
Nx：经股关节所受的横向力变力，N1,N2在X方向上的合力 s0 ：人体脚掌长度
s ：改进后重心线与后跟接触点距离
5模型建立与求解
5.1问题一模型的建立和求解 5.11数据处理
根据分析，文件data1中出现三个异常值，分别为M8缺失（第一位测试者在右膝屈膝情况下第二次测得300o/s峰力矩），K29缺失（第二位测试者在左膝伸膝情况下第三次测得180o/s峰力矩），H74数值异常（第四位测试者右膝伸膝情况下的第四次静止
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