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3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 3.1.3 导数的几何意义
【选题明细表】 知识点、方法 函数的平均变化率 函数的导数 导数的几何意义 导数在物理中的应用 综合问题 题号 1,2,6 3,7 4,9,12,13 5 8,10,11 【基础巩固】 1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D ) (A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx
(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)
解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0), 所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.
2
2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )
2
(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)](m/s)
22
(C)[5(Δt)+Δt](m/s) (D)5(Δt)(m/s)
222
解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)-(1-3+3)=(Δt)+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内
的平均速度是==Δt+5.故选A.
3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )
(A)与x0,h都有关
(B)仅与x0有关,而与h无关 (C)仅与h有关,而与x0无关 (D)与x0,h均无关
解析:因为f′(x0)=,
所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.
2
4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x在点(1,f(1))处的切线方程为( A ) (A)y=5x-1 (B)y=-5x+1
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(C)y=x+1 (D)y=-x-1
解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.
故选A.
2
5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D ) (A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6
解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6, 即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.
6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是 .
解析:=
==-1.
答案:-1
7.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是 .
解析:=
=
=-3+
=-3f′(3)+
=-3f′(3)+2 =8. 答案:8
2
8.已知直线l1为曲线y=x+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
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(1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
解:(1)y′=
==y′
(2x+Δx+1)=2x+1.
x=1
=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
22
设直线l2过曲线y=x+x-2上的点B(b,b+b-2),
2
则l2的方程为y=(2b+1)x-b-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).
所以所求三角形的面积S=××-=.
【能力提升】
2
9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角
的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )
(A)[-1,-] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[,1]
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解析:设点P(x0,y0),则
f′(x0)=
=
==
(2x0+2+Δx)=2x0+2.
结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1,
解得-1≤x0≤-.故选A.
10.已知函数f(x)=x+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列
2
{}的前n项和为Sn,则S2 018的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
2
解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率
k==2b,
由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,
所以b=.
因为f(n)=n+2bn=n+n=n(n+1),
2
2
所以=-,故数列{}的前n项和为Sn=(1-)+(-)+(-)+…
+(-)=1-,所以S2 018=1-=
2
.故选A.
11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
2
解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,
),由导数的几何意义知y′
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==2x0=1,得x0=,
所以P(,),
故点P到直线y=x-2的最小距离
d==.
答案:
3
12.已知曲线C:y=x.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 所以切点为P(1,1).
因为y′==
==
[3x+3xΔx+(Δx)]=3x,
=3.
2
2
2
所以y′
所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. (2)由
2
2
可得(x-1)(x+x-2)=(x-1)(x+2)=0, 解得x1=1,x2=-2.
从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).
说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).
【探究创新】 32
13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x+ax-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为 .
解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)+a(x0+Δx)-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)+(Δx),
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所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx).
2
当Δx无限趋近于零时,即f′(x0)=3+2ax0-9.
无限趋近于3+2ax0-9.
所以f′(x0)=3(x0+)-9-
2
.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行, 所以该切线斜率为-12.
所以-9-=-12.
解得a=±3.
又a<0,所以a=-3. 答案:-3 贯彻全国农村卫生工作会议精神，掌握新形势欢迎使用下载！