广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
概率
一、选择、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已
知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为______．
高一 高二 高三
y 女生 600 650
x z 男生 750
答案：1200
解析：依表知x?y?z?4000?2000?2000，
故高二的学生人数为y?z?1200．
2、（东莞市2013届高三上学期期末）若对任意x?A，都有
x?0.2，于是x?800， 40001?A，则称集合A为“完美x集合”．在集合A???1,1,2,3?的所有非空子集中任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为 A．答案：C
3、（广州市2013届高三上学期期末）在区间??2,4??分别取一个数,记为a,b, ?1,5??和?1214- B． C． D． 1515515x2y23则方程2?2?1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
2ab A．
1511731 B． C． D． 2323232答案：B
PC4、（江门市2013届高三上学期期末）从等腰直角?ABC的斜边AB上任取一点P，则?A为锐角三角形的概率是 A．1 B．答案：B
5、（茂名市2013届高三上学期期末）在区间??1,2?上任意取一个数x，则x??0,1?的概率为 。 答案：
1
111 C． D．
6231 3
6、（湛江市2013届高三上学期期末）在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是 A、
1123 B、 C、 D、 3234答案：B 7、（肇庆市2013届高三上学期期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 答案：
1 38、（中山市2013届高三上学期期末）有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ） A．
5 21B．
2 7C．
1 3D．
8 21答案：D
二、解答题
1、（潮州市2013届高三上学期期末）设事件A表示“关于x的方程x2?2ax?b2?0有实
数根”．
（1）若a、b?{1,2,3}，求事件A发生的概率P(A)； （2）若a、b?[1,3]，求事件A发生的概率P(A)．
解：（1）由关于x的方程x2?2ax?b2?0有实数根，得??0．
∴4a2?4b2?0，故a2?b2，当a?0，b?0时，得a?b．?? 2分 若a、b?{1,2,3}，则总的基本事件数（即有序实数对(a,b)的个数）
为3?3?9．事件A包含的基本事件为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，共有6个．
∴
事
件
A发生的概率
bEDP(A)?62?； ???? 7分 93（2）若a、b?[1,3]，则总的基本事件所构成的区域
3??{(a,b)|1?a?3,1?b?3}，是平面直角坐标系aOb中的
一个正方形（如右图的四边形BCDE），其面积
1O1B3CaS??(3?1)2?4． ???? 9分
2
事件A构成的区域是
bEA?{(a,b)|1?a?3,1?b?3,a?b}，是平面直角
坐标系aOb中的一个等腰直角三角形（如右图的阴影部分）， 其面积SA?3D1O1B3Ca1?(3?1)2?2． 2故事件A发生的概率P(A)?SA21??． ?? 12分 S?422、（佛山市2013届高三上学期期末）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：
组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] （1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 解析：
11(2.5?2?7.5?6?12.5?4?17.5?2?22.5?1)??157.5=10.5min．--------3分 15153?68?， ----4分 （2）候车时间少于10分钟的概率为15158?32人． ---------6分 所以候车时间少于10分钟的人数为60?15（1）
（3）将第三组乘客编号为a1,a2,a3,a4，第四组乘客编号为b1,b2．从6人中任选两人有包含以下基本事件：(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2)，
(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2)， (a3,a4),(a3,b1),(a3,b2)， (a4,b1),(a4,b2)，
3
(b1,b2)， ----10分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为
8． -------12分 153、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
甲乙 （1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
2221?x1?x?x2?x?????xn?x?， 参考公式：方差s????n?22859789611y116x062??????图3其中x?x1?x2???xn.
n（1）解：∵甲班学生的平均分是85，
92?96?80?80?x?85?79?78?85. ????? 1分
7 ∴x?5. ????? 2分
∴
∵乙班学生成绩的中位数是83，
∴y?3. ????? 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为
s2?2221??6??7??5?02?02?72?112??40. ?? 5分 ?????????7?（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B， ????? 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. ????? 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：?A,B?,?A,C?,?A,D?, ?A,E?,?B,C?,?B,D?,?B,E?,?C,D?,?C,E?,?D,E?. ????? 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：?A,B?,?A,C?,?A,D?,
?A,E?,?B,C?,?B,D?,?B,E?. ?????11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M，则P?M??7. 10 4
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为
7. 10?????12分
4、（惠州市2013届高三上学期期末）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。 （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均
为小学的概率．
（1）解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. ????3分 （2）解：在抽取到得6所学校中，3所小学分别记为A1,A2,A3 ,
2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为
?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,A4?,?A1,A5?,?A1,A6?,?A2,A3?,?A2,A4?,?A2,A5?,
?A2,A6?,?A3,A4?,?A3,A5?,?A3,A6?,?A4,A5?,?A4,A6?,?A5,A6?.共
种。????8分
从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件A）的所有可能结果为
15
?A1,A2?,?A1,A3?，?A2,A3?共3种，所以P(A)?15?5 ????12分
5、（江门市2013届高三上学期期末）某班几位同学组成研究性学习小组，从[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。得到如下统计表：
组数 分组 环保族人数 占本组的频率 本组占样本的频率 120 195 100 0.6 0.2 第一组 [25，30) 第二组 [30，35) 第三组 [35，40) 第四组 [40，45) 第五组 [45，50) 第六组 [50，55) ⑴求q、n、p、a的值；
⑵从年龄段在[40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 [40，45)的概率 解：⑴第二组的频率为：q?1?(0.2?0.2?0.15?0.1?0.05)?0.3??2分，
第一组的人数为
31p 0.5 0.4 0.3 0.3 q 0.2 0.15 0.1 0.05 a 30 15 120200?200，第一组的频率为0.2，所以n??1000??4分， 0.60.2 5